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MENUCours de Mécanique des fluides

Dans ce cours, nous étudions le fluide et son écoulement indépendamment des forces responsables de cet écoulement.

Le modèle continu

L’état fluide

Le terme fluide désigne un comportement qui s’oppose au comportement élastique ou plastique associé aux solides. Par définition, on dit que la matière est fluide lorsqu’elle se déforme aussi longtemps que lui sont appliquées des contraintes tangentielles. En termes simples on peut dire qu’un fluide coule quand un solide se déformeNous verrons plus tard qu’il existe des milieux qui présentent un comportement fluide lorsqu’on les observe sur de longues échelles de temps alors qu’ils ont un comportement élastique voire plastique sur de petites échelles de temps.

Fondamentalement, le comportement fluide est lié, au niveau moléculaire, à l’absence d’ordre à longue portéeCertains systèmes présentent un ordre à longue portée suivant une seule direction. Ils ont alors un caractère cristallin selon cette direction et fluide selon les autres. On les désigne par le terme cristaux liquides. (contrairement aux cristaux) et à l’existence d’un chaos moléculaire (contrairement aux solides). Ces propriétés se retrouvent notamment chez les gaz et les liquides.

les trois états de la matière
Les trois états de la matière

Les liquides

Dans un liquide, les interactions (l’interaction de Van der Waals, la liaison hydrogène, l’interaction électrostatique dans une solution électrolytique etc ...) jouent un rôle clé. L’interaction est telle que les molécules sont quasi en contact ce qui explique le caractère quasi-incompressible des liquides : les liquides présentent un volume propre. Les variations du volume \(V\) ou de la masse volumique \(\mu\) avec la pression et la température se mesurent à l’aide du coefficient de dilatation \(\alpha\) et du coefficient de compressibilité \(\chi_{T}\) : \[ \chi_{T}=\left.\frac{1}{\mu}\frac{\partial\mu}{\partial P}\right|_{T} \quad\text{et}\quad \alpha=\left.-\frac{1}{\mu}\frac{\partial\mu}{\partial T}\right|_{P} \] Pour l’eau, par exemple, la compressibilité vaut \(\chi_{T}\approx 4,4.10^{-10}\,{\rm Pa^{-1}}\) à 20 °C. Cela signifie qu’il faut augmenter la pression de 227 bars pour voir la masse volumique augmenter de 1%. Les liquides ont également un coefficient de dilatation très faible.

Eau liquide à 25°C, 1 atm
\(\Delta T=10\,\textrm{K}\) \(\dfrac{\left|\Delta\mu\right|}{\mu}=0,2\%\)
\(\Delta P=1\textrm{ bar}\) \(\dfrac{\left|\Delta\mu\right|}{\mu}=0,02\%\)

Le gaz

Dans un gaz, les particules interagissent peu, l’énergie est avant tout cinétique. Les distances inter-atomiques sont grandes ce qui explique qu’à l’inverse des liquides, les gaz sont très compressibles. Pour un gaz, dans les conditions de pression et de température raisonnables et loin de tout point critique, le modèle du gaz parfait est tout à fait suffisant.

Vapeur d'eau à 100°C, 1 atm
\(\Delta T=10\,\textrm{K}\) \(\dfrac{\left|\Delta\mu\right|}{\mu}=3\%\)
\(\Delta P=1\textrm{ bar}\) \(\dfrac{\left|\Delta\mu\right|}{\mu}=100\%\)

Approximations courantes

Le modèle continu

Plusieurs approches sont possibles pour décrire un fluide :

La mécanique des fluides repose sur la deuxième approche. En effet, dans les situations courantes on peut, en général, distinguer trois échelles :

  1. L’échelle macroscopique \(L\). Par exemple \(L\) est le diamètre du tuyau quand on étudie l’écoulement dans un tuyau.
  2. L’échelle des collisions \(\ell\ll L\). \(\ell\) est le libre parcours moyen, c’est-à-dire la distance moyenne parcourue par une molécule entre deux collisions successives. À cette échelle, les grandeurs varient de façon discontinue et imprévisible.
  3. L’échelle mésoscopique \(a\) telle que \(\ell\ll a\ll L\). À cette échelle, les fluctuations sont lissées de sorte que l’on peut définir des grandeurs locales continues.
Les trois échelles
Les trois échelles.

Particule de fluide

On choisit alors comme échelle d’observation, l’échelle mésoscopique. On considère, autour d’un point M, un volume mésoscopique \(\delta\tau\). Typiquement un volume de \(1\,\mathrm{\mu m^{3}}\) convient. Ce volume contient un grand nombre de particules ce qui permet de définir des grandeurs moyennes locales qui, elles, vont évoluer de façon continue : la masse volumique locale \(\mu(\textrm{M},t)\), la vitesse locale \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\)...

On donne à ce sac de molécules le nom de particule de fluide qu’il ne faut pas confondre avec la notion de molécule.

Remarque

La vitesse \(v\) en mécanique des fluides désigne la norme du vecteur vitesse d'une particule de fluide. En conséquence on peut avoir \(v(\textrm{M})=0\) bien que la vitesse moyenne d'une molécule soit non nulle : \[ v=\left\|\overline{\overrightarrow{v_i}}\right\|\neq \overline{\left\|\overrightarrow{v_i}\right\|} \]

Description d’un fluide en écoulement

Deux approches différentes existent. Le point de vue de Lagrange consiste à s'intéresser à la trajectoire des particules de fluide. Celle d'Euler se concentre sur l'évolution des propriétés du fluide en différents points et au cours du temps.

Notion de ligne d’écoulement

notion de ligne d'écouleemnt

Adoptons l’approche d’Euler et supposons que l’on connaisse à chaque instant \(t\) le vecteur vitesse d’une particule de fluide située en M. Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\) désigne alors un champ vectoriel.

Par définition, une ligne de courant ou ligne d’écoulement, est une ligne de champ du vecteur vitesse, c’est-à-dire une courbe \(\mathcal{C}\) telle qu'à un instant \(t\) fixé, pour tout point M \(\in\mathcal{C}\), \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\) est tangente à \(\mathcal{C}\) en M. Lorsque le champ de vitesse ne dépend pas du temps, les lignes d’écoulement n’évoluent pas au cours du temps : on dit que le régime d’écoulement est stationnaire ou permanent.

Pour un problème à deux dimensions, l’équation \(f(x,y)=0\) d’une ligne d’écoulement s’obtient en résolvant l’équation différentielle

\begin{equation} \dfrac{{\rm d}y}{\text{d}x}=\dfrac{v_y(x,y,t)}{v_{x}(x,y,t)}\quad\text{avec}\;t\;\text{fixe} \end{equation}

Exercice

On considère un écoulement bidimensionnel dont le champ de vitesse s'écrit : \[\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)=-kx\,\overrightarrow{u_x}+ky\,\overrightarrow{u_y}\quad \text{avec}\quad k=\mathrm{C^{te}}\] Quelle est l'équation des lignes d'écoulement ?

L'équation de la ligne de courant est solution de l'équation différentielle \(\textrm{d}y/\textrm{d}x=-y/x\) soit \(y=C/x\) : la ligne est une hyperbole équilatère d'asymptotes les axes cartésiens. On notera que bien que l'écoulement soit permanent (le champ de vitesse ne dépend pas explicitement du temps), la vitesse le long d'une ligne d'écoulement varie.

Visualisation des lignes d’écoulement

On utilise des particules réfléchissantes que l’on photographie avec un court temps de pose. On a accès ainsi à des segments brillants qui donnent le sens de la vitesse en différents points ce qui permet de reconstituer la carte du champ de vitesse.

Notion de trajectoire

Dans la description de Lagrange, on s’intéresse à l’histoire de chaque particule de fluide. Considérons une particule de fluide \(\mathcal{P}\) située en \((x(t),y(t),z(t))\) à l’instant \(t\). Par définition la trajectoire est la courbe paramétrique \(\mathcal{C}\) d’équation \[ \mathcal{C}\left\{\begin{aligned} x(t)\\ y(t)\\ z(t) \end{aligned} \right. \quad\text{tel que}\quad \left\{\begin{aligned} \dot x &=& v_x(x(t),y(t),z(t),t)\\ \dot y &=& v_y(x(t),y(t),z(t),t)\\ \dot z &=& v_z(x(t),y(t),z(t),t)\\ \end{aligned} \right. \] La trajectoire retrace l’histoire d’une particule alors que la ligne d’écoulement est un instantanée du champ de vitesse. De ce fait, ces deux notions sont différentes. Par contre, lorsque que le régime d’écoulement est stationnaire, une particule suit nécessairement la ligne d’écoulement sur laquelle elle se trouve puisque celle-ci est fixe.

À retenir

En régime permanent, les trajectoires tracent les lignes d’écoulement.

Visualisation d’une trajectoire

On utilise des traceurs (colorants ou fumées) et l’on prend une photo avec un long temps de pose.

Dérivée particulaire

Considérons une grandeur physique locale \(G(\text{M},t)\) attachée à une particule de fluide située en M à l’instant \(t\). On peut penser à la température, la pression, la densité etc. Cherchons à calculer le taux de variation de cette grandeur lorsque l’on suit la particule. On appelle cette grandeur la dérivée particulaire et on la note \(\frac{\textrm{D}G}{\textrm{D}t}\). \[ \begin{array}{rcl} \dfrac{\textrm{D}G}{\textrm{D}t} &= &\lim_{\delta t\to 0}\dfrac{G(x+v_{x}\delta t,y+v_{y}\delta t,z+v_{z}\delta t,t+\delta t)-G(x,y,z,t)}{\delta t} \\[4mm] &= &\dfrac{G(x,y,z,t)+v_{x}\frac{\partial G}{\partial x}\delta t+v_{y}\frac{\partial G}{\partial y}\delta t+v_{z}\frac{\partial G}{\partial z}\delta t+\frac{\partial G}{\partial t}\delta t-G(x,y,z,t)}{\delta t} \end{array} \] ce qui donne la formule que l’on retiendra

Dérivée particulaire

\begin{equation} \frac{\textrm{D}G}{\textrm{D}t}=\dfrac{\partial G}{\partial t}+(\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\nabla})G \label{eq:C1_derive_particulaire} \end{equation}

Accélération d’une particule

Calculons l’accélération d’une particule de fluide à partir du champ de vitesse eulérien \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\). L’accélération est le taux de variation du champ de vitesse en suivant une particule de fluide. On a donc : \[ \overrightarrow{a}= \dfrac{\textrm{D}v_{x}}{\textrm{D}t}\overrightarrow{u_{x}}+\dfrac{\textrm{D}v_{y}}{\textrm{D}t}\overrightarrow{u_{y}}+ \dfrac{\textrm{D}v_{z}}{\textrm{D}t}\overrightarrow{u_{z}} \] ce qui donne \[ \begin{aligned} a_{x}&= &\dfrac{\textrm{D}v_{x}}{\textrm{D}t}=\dfrac{\partial v_{x}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})v_{x}\\ a_{y}&= &\dfrac{\textrm{D}v_{y}}{\textrm{D}t}=\frac{\partial v_{y}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})v_{y}\\ a_{z}&= &\dfrac{\textrm{D}v_{z}}{\textrm{D}t}=\frac{\partial v_{z}}{\partial t}+(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})v_{z} \end{aligned}\] On pourra retenir le résultat sous forme compacte :

Accélération d'une particule de fluide

\begin{equation} \overrightarrow{a}(\textrm{M},t)=\dfrac{\textrm{D}\overrightarrow{v}}{\textrm{D}t}=\dfrac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial t}+\left(\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla}\right)\overrightarrow{v} \label{eq:acceleration} \end{equation}

Le premier terme est lié au caractère non permanent de l’écoulement alors que le second au fait que la particule, en se déplaçant, visite des endroits où la vitesse change. On l’appelle le terme convectif.

Exercice

On considère un écoulement bidimensionnel dont le champ de vitesse s'écrit : \[\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)=-kx\,\overrightarrow{u_x}+ky\,\overrightarrow{u_y}\quad \text{avec}\quad k=\mathrm{C^{te}}\] Que vaut l'accélération en \(x=1\) et \(y=1\) ?

L'écoulement est permanent donc \(\partial\overrightarrow{v}/\partial t=\overrightarrow{0}\) et le terme convectif s'écrit \((\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\nabla})\overrightarrow{v}=-kx\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial x}+ky\frac{\partial\overrightarrow{v}}{\partial y}\)d'où \[\overrightarrow{a}(x,y)=k^2(x\,\overrightarrow{u_x}+y\,\overrightarrow{u_y})\] Ainsi \(a(1,1)=\|\overrightarrow{a}(1,1)\|=\sqrt{2}\,k^2\)

Conservation de la masse

Vecteur densité de courant de masse

Un écoulement est un phénomène de transport puisqu’il s’agit d’un transfert de masse. C’est pourquoi il est naturel d’introduire la notion de vecteur densité de courant de masse.

calcul de débit de masse
Calcul du débit massique.

Pour cela, cherchons à exprimer la masse qui traverse une section (S) lors d’un écoulement. Considérons une section infinitésimale \(\textrm{d}S\) autour d’un point M et calculons la masse \(\textrm{d}^2m\) de fluide traversant \(\textrm{d}S\) pendant \(\textrm{d}t\). Cette masse se trouve dans le prisme de base \(\textrm{d}S\) et de génératrice \(\overrightarrow{v}\,\textrm{d}t\). On a donc \[ \textrm{d}^2m=\mu(\textrm{M},t)\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\cdot \overrightarrow{n}\,\textrm{d}t\,\textrm{d}S \] où \(\overrightarrow{n}\) est le vecteur normal à la section \(\textrm{d}S\). En sommant toutes les contributions on obtient \[ \textrm{d}m= \left(\iint_{\textrm{M}\in(S)}\mu(\textrm{M},t)\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\cdot\overrightarrow{n}\textrm{d}S\right)\textrm{d}t \] On en déduit le flux de matière ou débit massique \[ Q_{\textrm{m}}\equiv\frac{\textrm{d}m}{\textrm{d}t}= \iint_{\textrm{M}\in (S)}\mu(\textrm{M},t)\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\cdot\overrightarrow{n}\textrm{d}S \quad \textrm{en kg/s} \]

Débit massique

Le débit massique est donc, au sens mathématique, le flux du vecteur \(\overrightarrow{J_{\textrm{m}}}=\mu\overrightarrow{v}\) : \[ Q_{\textrm{m}}=\iint_{\textrm{M}\in(S)}\overrightarrow{J_{\textrm{m}}}(\textrm{M},t)\cdot\overrightarrow{n}\textrm{d}S \quad \textrm{en kg/s} \] Le vecteur \(\overrightarrow{J_{\textrm{m}}}\) désigne le vecteur densité de courant de masse.

Remarque

Le débit volumique \(Q_{\rm V}\) mesure le volume de fluide qui traverse la surface (S) par unité de temps : \[ Q_{V}\equiv\iint_{\textrm{M}\in(S)}\frac{1}{\mu}\frac{\text{d}^{2}m}{\text{d}t}= \iint_{\textrm{M}\in(S)}\overrightarrow{v}.\overrightarrow{n}\,\text{dS} \quad \mathrm{en\; m^3/s} \]

Équation de continuité

Flux de vitesse à travers une surface fermée

Établissons la première équation fondamentale de la mécanique des fluides. Il s’agit d’une contrainte imposée à \(\overrightarrow{v}(\textrm{M},t)\) et \(\mu(\textrm{M},t)\) qui repose sur une loi de conservation, celle de la masse.

Prenons un volume de contrôle fixe \((V)\) dans un fluide, délimité par une surface fictive \((S)\). Soit \(m(t)\) la masse contenue à l’intérieur de la surface fermée à l’instant \(t\).

Par définition de la masse volumique, \[ m(t)=\iiint_{\textrm{M}\in (V)}\mu(\textrm{M},t)\,\text{d}\tau \] Cette masse varie à cause du flux de matière à travers \((S)\) : \[ \frac{\textrm{d} m(t)}{\textrm{d}t}=-\iint_{\textrm{M}\in(S)}\mu\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}^{\textrm{ext}} \] où \(\overrightarrow{\textrm{d}S}^{\textrm{ext}}\) est dirigé vers l’extérieur de la surface fermée \((S)\) ce qui explique l’origine du signe - devant l'intégrale. Or, on a également \[ \frac{\text{d}m(t)}{\text{d}t}=\iiint_{\textrm{M}\in V}\frac{\partial\mu(\textrm{M},t)}{\partial t}\;\text{d}\tau \]

D’après le théorème de la divergence on obtient : \[ \iiint_{\textrm{M}\in(V)}\left[\text{div}(\mu\overrightarrow{v})+\frac{\partial\mu}{\partial t}\right]\textrm{d}\tau=0 \quad\forall V \] d’où l’équation de conservation de la masse, dite aussi équation de continuité

Équation de continuité

\begin{equation} \textrm{div}(\mu\overrightarrow{v})+\frac{\partial\mu}{\partial t}=0\quad \text{partout et à chaque instant} \label{eq:equation_de_continuite} \end{equation}

Caractéristiques d’un écoulement

Signification de la divergence de la vitesse

La quantité \(\textrm{div}\overrightarrow{v}\) prend une signification bien précise en mécanique des fluides. Partons de la relation \[ {\textrm{div}}(f.\overrightarrow{A})=f\textrm{div}\overrightarrow{A}+\overrightarrow{A}.\overrightarrow{\textrm{grad}}f \] Appliqué au vecteur densité de courant de matière \(\overrightarrow{J_{\textrm{m}}}=\mu\overrightarrow{v}\) cela donne \[ \textrm{div}(\mu\overrightarrow{v})=\mu\textrm{div}\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\textrm{grad}}\mu \] En utilisant l’équation de continuité on obtient \[ \frac{\partial\mu}{\partial t}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{\textrm{grad}}\mu=-\mu\textrm{div}\overrightarrow{v} \] On reconnaît dans le terme de gauche, la dérivée particulaire de \(\mu\). \[ \textrm{div}\overrightarrow{v}=-\frac{1}{\mu}\dfrac{\textrm{D}\mu}{\textrm{D}t} \] Si l’on note \(\delta m\) et \(\delta\tau\) la masse et le volume d’une particule de fluide en mouvement on peut écrire \[ -\frac{1}{\mu}\dfrac{\textrm{D}\mu}{\textrm{D}t}= -\frac{1}{\mu}\dfrac{\textrm{D}\left(\delta m/\delta \tau\right)}{\textrm{D}t}= \frac{\delta m}{\mu \delta \tau^2}\dfrac{\textrm{D}\delta\tau}{\textrm{D}t}= \frac{1}{\delta \tau}\dfrac{\textrm{D}\delta \tau}{\textrm{D}t} \] Finalement, on obtient \begin{equation} \textrm{div}\overrightarrow{v}=\frac{1}{\delta\tau}\frac{\textrm{D}\delta\tau}{\textrm{D}t} \label{eq:signification_de_div} \end{equation}

La divergence de la vitesse d’écoulement représente ainsi la vitesse de dilatation de la particule de fluide.

Exemple 1 - Écoulement unidimensionnel uniforme

Considérons l’écoulement décrit par le champ de vitesse \[ \overrightarrow{v}(\textrm{M},t)=v\,\overrightarrow{u_x}\quad\textrm{avec}\quad v=\mathrm{C^{te}} \] Les lignes de courant sont des droites parallèles et l’écoulement est à divergence nulle. Les particules de fluides se déplacent sans se dilater comme le montre la simulation suivante.

Simulation

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Particule de fluide dans un écoulement uniforme [Cliquez pour animer ou arrêter]

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Exemple 2 - Écoulement radial

Considérons l’écoulement décrit en coordonnées polaires par le champ de vitesse \[ \overrightarrow{v}(\textrm{M},t)=v\,\overrightarrow{u_r}\quad\textrm{avec}\quad v=\mathrm{C^{te}} \] Les lignes de courant sont des droites issues de O et les particules de fluides se déplacent en se dilatant comme le montre la figure suivante ce qui prouve que l'écoulement est à divergence positive.

Simulation

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Particule de fluide dans un écoulement radial [Cliquez pour animer ou arrêter]

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Ecoulement incompressible

Définition

Un fluide est en écoulement incompressible quand les particules de fluide ont un volume qui reste constant au cours de l'écoulement. Elles se déforment donc sans variation de masse volumique : \[ \frac{\text{D}\mu}{\text{D}t}=0 \]

Par conséquent, d'après la relation \eqref{eq:signification_de_div}, un fluide en écoulement incompressible vérifie la relation \[ \textrm{div}\overrightarrow{v}= 0\quad\Leftrightarrow\quad\iint_{(S)}\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}{}^{\textrm{ext}}=0 \] la vitesse est à flux conservatif.

Tube de courant

Conservation du débit volumique le long d'un tube de courant

Toutes les lignes de courant qui s’appuient sur une courbe \(\mathcal{C}\) fermée constituent un tube de courant. Dans ce cas, la conservation du flux de vitesse s’exprime par \[ \iint_{(S_1)}\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}_1=\iint_{(S_2)}\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{\textrm{d}S}_2 \quad\textrm{soit}\quad Q_{\textrm{V}1}=Q_{\textrm{V}2} \] Le débit volumique se conserve le long d’un tube de courant. Si l’on définit la vitesse moyenne dans le section S par : \[ \bar{v}\equiv\frac{Q_{\textrm{V}}}{S} \] On obtient \[ \bar{v_1}S_1=\bar{v_2}S_2 \] Autrement dit, dans un tube de courant, le resserrement des lignes de courant provoque une augmentation de la vitesse moyenne.

Signification du rotationnel de la vitesse

Commençons par l’étude de l’exemple suivant. Soit un écoulement bidimensionnel dont le champ de vitesse s’écrit \[ \overrightarrow{v}(\textrm{M},t)=-k\,y\,\overrightarrow{u_{x}}+k\,x\,\overrightarrow{u_{y}}\quad \textrm{avec}\quad k=\mathrm{C^{te}} \]

  1. Tout d’abord, on constate que \(\textrm{div}\,\overrightarrow {v}=\frac{\partial(-k\,y)}{\partial x}+\frac{\partial(k\,x)}{\partial y}=0\). L’écoulement est donc incompressible.
  2. Le rotationnel de la vitesse vaut quant à lui \[ \overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{v}= \overrightarrow{\nabla}\wedge\overrightarrow{v}= \left(\frac{\partial(k\,x)}{\partial x}-\frac{\partial(-k\,y)}{\partial y}\right)\overrightarrow{u_z}=2k\,\overrightarrow{u_z} \]
  3. Plaçons une portion triangulaire en O. Quel est son mouvement ?
    En utilisant la simulation ci-dessous vous devez constater que la particule de fluide ne se déforme pas (l'écoulement est donc bien incompressible) mais qu'elle subit un mouvement de rotation autour de son centre de gravité. On peut montrer que la partiule tourne à la vitesse angulaire \(\omega=k\).

Simulation

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Particule de fluide dans un écoulement rotationnel [Cliquez pour animer ou arrêter].

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Vecteur tourbillon

L’exemple précédent montre que pour un écoulement rotationnel, les particules de fluides tournent à une vitesse angulaire égal à la moitié de la valeur du rotationnel. De manière générale, on définit le vecteur tourbillon \[ \overrightarrow{\Omega}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow{v} \] Lorsque \(\overrightarrow{\Omega}\neq 0\), l’écoulement est tourbillonnaire ce qui se traduit par l’existence d’un mouvement de rotation des particules lors de l’écoulement.

Karman Vortex Street Ani
Allée tourbillonnaire de Von Karman produit par un écoulement suffisamment rapide autour d’un obstacle cylindrique.

Ecoulement potentiel

Lorsque \(\overrightarrow{\Omega}=\overrightarrow{0}\), le champ de vitesse est nécessairement un gradient. \[ \overrightarrow{\textrm{rot}}\overrightarrow v= \overrightarrow 0\quad\Rightarrow\quad\overrightarrow{v}= \overrightarrow{\nabla}\varphi \] où \(\varphi(M,t)\) désigne le potentiel des vitesses. Dans ce cas on parle d’écoulement irrotationnel ou potentiel. Un exemple d'écoulement potentiel est l'écoulement stationnaire d'un fluide parfait autour d'un cylindre[1].

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Pour en savoir plus...

  1. J. RousselÉcoulements stationnaires.FEMTO, la physique enseignéefemto-physique.fr/simulations/mecaflu_simu1.php