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MENUCours de Mécanique classique

Pour une certaine échelle d'observation et un certain niveau de précision il existe des référentiels dont le caractère galiléen est vérifié. En revanche, ces référentiels ne correspondent pas toujours aux référentiels dans lesquels on effectue les mesures d'où la question légitime : comment les lois de la mécanique s'expriment dans de tels référentiels ?
Après avoir établi les relations qui permettent de changer de référentiel, nous verrons qu'il faut introduire de nouvelles forces lorsque l'on veut décrire des phénomènes mécaniques dans un référentiel non galiléen : la force d'inertie d'entraînement et la force d'inertie de Coriolis.

Référentiels en translation

Position du problème

Considérons deux référentiels $\mathcal{{R}}$ et $\mathcal{{R}}'$ munis respectivement des systèmes d'axes (O,$\overrightarrow{u_1}$,$\overrightarrow{u_2}$,$\overrightarrow{u_3}$) et (O',$\overrightarrow{u_1}'$,$\overrightarrow{u_2}'$,$\overrightarrow{u_3}'$).

Par définition, $\mathcal{R}'$ est en translation par rapport à $\mathcal{R}$ si, du point de vue d'un observateur lié à $\mathcal{{R}}$, les axes de $\mathcal{{R}}'$ conservent la même direction et le même sens au cours du temps. Mathématiquement cela signifie qu'à tout instant on a \[ \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_k}'}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{{R}}}=\overrightarrow{0}\quad \textrm{ avec }k\in\{1,2,3\} \] où l'indice $\mathcal{R}$ indique que la dérivée est calculée par un observateur lié à $\mathcal{R}$.

Ici, le mouvement de $\mathcal{{R}}'$ par rapport à $\mathcal{{R}}$ est entièrement déterminé par celui du point O'. On définit la vitesse et l'accélération de $\mathcal{R}'$ par : \[ \overrightarrow{v}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}=\overrightarrow{v}_{\rm O'/\mathcal{R}} \quad\text{et}\quad \overrightarrow{a}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}=\overrightarrow{a}_{\rm O'/\mathcal{R}} \] Si O' décrit une droite, on dit que le référentiel $\mathcal{{R}}'$ est en translation rectiligne comme c'est le cas pour un référentiel lié à un ascenseur. Si O' décrit un cercle, on parle de translation circulaire. C'est ce mouvement que l'on observe lors des fêtes foraines où l'on rencontre fréquemment une grande roue constituée de nacelles en translation circulaire par rapport au référentiel terrestre. De manière générale, si O' décrit une courbe quelconque, on parle de translation curviligne.

réferentiel En rranslation
Exemples de mouvement de translation.

Posons nous deux questions :

Composition des vitesses et des accélérations

Un point matériel M en mouvement dans $\mathcal{R}$ est décrit par son vecteur position $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{\rm OM}$ fonction du temps $t$. Dans $\mathcal{R}'$, on définit le vecteur position $\overrightarrow{r}'=\overrightarrow{\rm O'M}$ fonction du temps $t'$. La relation de passage de $\mathcal{R}'\rightarrow \mathcal{R}$ est donnée par \begin{equation} \left\{\begin{array}{ccc} t & = & t'\\ \overrightarrow{r} & = & \overrightarrow{\rm OO'}+\overrightarrow{r}' \end{array}\right. \label{eq:relation_de_passage} \end{equation} Un observateur lié à $\mathcal{R}$ mesure une vitesse, appelée parfois vitesse absolue, \[ \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R}}=\left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}} \] De la même façon, un observateur lié à $\mathcal{R}'$ mesure une vitesse, appelée arbitrairement vitesse relative, \[ \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R}'}=\left.\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}'}{\mathrm{d} t'}\right|_{\mathcal{R}'} \] où $t'$ est le temps dans $\mathcal{R}'$.

Dérivons $\overrightarrow{r}$ par rapport au temps $t$ dans le référentiel $\mathcal{R}$ : \[ \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{{R}}}= \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}'}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}+ \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\rm OO'}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}= \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}'}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}+ \overrightarrow{v}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}} \] Or, si l'on note $x'$, $y'$ et $z'$ les composantes du vecteur $\overrightarrow{r}'$ dans la base ($\overrightarrow{u_1}'$,$\overrightarrow{u_2}'$,$\overrightarrow{u_3}'$), on a \[ \left.\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}'}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathcal{R}}= \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{u_1}'+ \frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{u_2}'+ \frac{\mathrm{d}z'}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{u_3}'+ x'\left.\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_1}'}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathcal{R}}+ y'\left.\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_2}'}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathcal{R}}+ z'\left.\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u_3}'}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathcal{R}} \] Mais puisque $\mathcal{R'}$ est en translation par rapport à $\mathcal{R}$, les trois derniers termes sont nuls. Par ailleurs, compte tenu que $\mathrm{d}x'/\mathrm{d}t=\mathrm{d}x'/\mathrm{d}t'\ldots$, on peut écrire \[ \left.\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}'}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathcal{R}}= \frac{\mathrm{d}x'}{\mathrm{d}t'}\overrightarrow{u_1}'+ \frac{\mathrm{d}y'}{\mathrm{d}t'}\overrightarrow{u_2}'+ \frac{\mathrm{d}z'}{\mathrm{d}t'}\overrightarrow{u_3}'= \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R}'} \] Le terme de droite s'identifie alors avec la vitesse mesurée dans le référentiel $\mathcal{R'}$. Finalement on trouve la loi de composition suivante :

\begin{equation} \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R}}=\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}+\overrightarrow{v}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}} \label{eq:composition_vitesse_translation} \end{equation}

La vitesse vue dans $\mathcal{R}$ est la somme vectorielle de la vitesse vue dans $\mathcal{R}'$ et de la vitesse de translation de $\mathcal{R}'$ par rapport à $\mathcal{R}$.

Poursuivons notre raisonnement et cherchons la relation entre les accélérations mesurées dans $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$. Pour cela, dérivons par rapport à $t$ l'équation \eqref{eq:composition_vitesse_translation} : \[\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}= \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R}}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}= \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}+ \overrightarrow{a}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}} \] Pour les mêmes raisons que précédemment, le terme $\left.\mathrm{d}\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}/\mathrm{d} t\right|_{\mathcal{R}}$ s'identifie avec l'accélération relative $\left.\mathrm{d}\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}/\mathrm{d} t'\right|_{\mathcal{R'}}$ de sorte que

\begin{equation} \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}= \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R'}}+\overrightarrow{a}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}} \label{eq:composition_acceleration_translation} \end{equation}

À l'instar de la vitesse, l'accélération vue dans $\mathcal{R}$ est la somme vectorielle de l'accélération vue dans $\mathcal{R}'$ et de l'accélération de translation de $\mathcal{R}'$ par rapport à $\mathcal{R}$.

Notion de force d'inertie

Supposons maintenant que le référentiel $\mathcal{R}$ soit galiléen. Un point matériel M de masse $m$ soumis à une résultante des forces $\overrightarrow{F}$ est donc régi par l'équation du mouvement \[ m \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{F} \] Qu'en est-il dans $\mathcal{R'}$ ?

Tout d'abord, en mécanique newtonienne, la masse est une grandeur invariante par changement de référentiel : $m'=m$. De plus, les lois d'interaction ne dépendent que des postions et des vitesses relatives entre le point M et l'environnement matériel ; il est alors légitime de postuler l'invariance de la force par changement de référentiel : $\overrightarrow{F}'=\overrightarrow{F}$. Enfin, si le référentiel $\mathcal{R'}$ est en translation par rapport à $\mathcal{R}$, en vertu de \eqref{eq:composition_acceleration_translation} on a \[\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R'}}+\overrightarrow{a}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}= \frac{\overrightarrow{F}}{m}=\frac{\overrightarrow{F}'}{m'}\] de sorte que \[m'\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R'}}= \overrightarrow{F}'-m'\overrightarrow{a}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}} \quad (m'=m \quad\text{et}\quad\overrightarrow{F}'=\overrightarrow{F})\] Tout se passe comme si l'on pouvait appliquer la relation fondamentale de la dynamique dans $\mathcal{R'}$ à condition d'ajouter un terme supplémentaire dans le bilan des forces :

Force d'inertie

\begin{equation} \overrightarrow{f_{\rm i}}=-m\overrightarrow{a}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}} \quad\text{[translation]} \end{equation}

Cette grandeur homogène à une force est appelée force d'inertie. On peut noter qu'elle ne dépend que du mouvement de $\mathcal{R'}$ par rapport à $\mathcal{R}$ et de la masse inerte du point M d'où son nom. Quand le référentiel $\mathcal{R'}$ accélère tout se passe comme si le point matériel subissait une force supplémentaire opposée à l'accélération.

Exemple : freinage d'un véhicule

Imaginons la situation du conducteur d'un véhicule qui roule sur une route horizontale. Brusquement, le conducteur freine. Le référentiel lié à l'habitacle est donc en translation rectiligne accéléré, l'accélération étant opposée à la vitesse. Dans ce référentiel, le conducteur ressent une force d'inertie qui le propulse vers l'avant. Si ça ceinture de sécurité est attachée, elle le maintient fixe dans l'habitacle en exerçant une tension opposée à cette force d'inertie.

Force D Inertie
Le véhicule freine. Le passager se sent projeté vers l'avant.

En revanche, si le référentiel $\mathcal{R'}$ est en translation rectiligne uniforme, on a \[ \overrightarrow{a}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}=\overrightarrow{0}\quad\text{donc}\quad m'\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R'}}=\overrightarrow{F}' \] La relation fondamentale de la dynamique est alors valide dans $\mathcal{R'}$ ce qui confère à $\mathcal{R'}$ le statut de référentiel galiléen.

D'ores et déjà on peut retenir que tout référentiel en translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen, est lui aussi galiléen.

Référentiels en rotation uniforme autour d'un axe fixe

Vecteur rotation

Définition

Referentiel En Rotation
Référentiel en rotation par rapport à un axe fixe

Supposons maintenant que le référentiel $\mathcal{R}'$ ait son origine O' fixe par rapport à $\mathcal{R}$ mais, qu'en revanche, ses axes tournent autour d'un axe fixe $\Delta$ à une vitesse angulaire $\omega$ constante. Dans ce cas, on caractérise la rotation du référentiel tournant à l'aide du vecteur rotation $\boldsymbol{\overrightarrow{\omega}}$ dont la direction est donnée par celle de l'axe de rotation, la norme par la vitesse angulaire $\omega$ et le sens par la règle du tire-bouchon : faire tourner un tire-bouchon autour de l'axe de rotation le fait déplacer dans le sens recherché.

Illustrons cette notion sur l'exemple de la figure ci-contre. Ici, $\mathcal{{R}}'$ est en rotation par rapport à $\mathcal{{R}}$ autour d'un axe fixe $\Delta$, orienté suivant $\overrightarrow{u_3}$, à la vitesse angulaire $\omega$. On posera donc \[\overrightarrow{\omega}=\omega\, \overrightarrow{u_3}\] Plaçons les points A, B et C aux extrémités des vecteurs $\overrightarrow{u_1}'$, $\overrightarrow{u_2}'$ et $\overrightarrow{u_3}'$. Un observateur lié à $\mathcal{R}$ constate que les points A et B décrivent un cercle de rayon unité et de centre O' à la vitesse $\omega$ tandis que le point C reste immobile. Compte tenu des résultats sur le mouvement circulaire, on a \[\begin{array}{ccl} \left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_1}'}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}} & = & \overrightarrow{v}_{\rm A/\mathcal{R}}=1\times\omega\,\overrightarrow{u_2}'=\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{u_1}'\\[3mm] \left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_2}'}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{{R}}} & = & \overrightarrow{v}_{\rm B/\mathcal{R}}=-1\times\omega\,\overrightarrow{u_1}'=\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{u_2}'\\[3mm] \left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_3}'}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}} & = & \overrightarrow{v}_{\rm C/\mathcal{R}}=\overrightarrow{0}=\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{u_3}' \end{array}\] ce qui se met sous la forme

Vecteur rotation

\begin{equation} \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_k}'}{\mathrm{d}t}\right|_{\mathcal{R}}= \overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{u_k}'\quad\text{avec}\quad k\in\{1,2,3\} \label{eq:defintion_vecteur_rotation} \end{equation}

Cette relation est en fait une définition générale du vecteur rotation que l'on admettra. Notons qu'un observateur lié à $\mathcal{R}'$ voit le référentiel $\mathcal{R}$ tourner à la même vitesse angulaire mais dans le sens opposé, de sorte que l'on a \[ \overrightarrow{\omega}_{\mathcal{R}/\mathcal{R}'}=-\overrightarrow{\omega}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}} \]

Formule de dérivation vectorielle

En conséquence, la variation temporelle d'une grandeur vectorielle dépend du référentiel. En effet, considérons un observateur lié au référentiel $\mathcal{R}'$ observant les variations d'une grandeur $\overrightarrow{A}(t')$ et cherchons à calculer ce que verrait un observateur lié à $\mathcal{R}$. Appelons $A_1$, $A_2$ et $A_3$ les composantes du vecteur $\overrightarrow{A}$ dans la base $(\overrightarrow{u_1}',\overrightarrow{u_2}',\overrightarrow{u_3}')$ : \[ \overrightarrow{A}=A_{1}\overrightarrow{u_1}'+A_{2}\overrightarrow{u_2}'+A_{3}\overrightarrow{u_3}' \] Les variations temporelles vues dans $\mathcal{R}$ et $\mathcal{R}'$ s'écrivent \[ \left\{\begin{array}{lcl} \left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{A}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}} &= &\dfrac{\mathrm{d} A_{1}}{\mathrm{d} t}\overrightarrow{u_1}'+\dfrac{\mathrm{d} A_{2}}{\mathrm{d} t}\overrightarrow{u_2}'+\dfrac{\mathrm{d} A_{3}}{\mathrm{d} t}\overrightarrow{u_3}'+A_{1}\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_1}'}{\mathrm{d} t}+A_{2}\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_2}'}{\mathrm{d} t}+A_{3}\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_3}'}{\mathrm{d} t}\\[4mm] \left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{A}}{\mathrm{d} t'}\right|_{\mathcal{R'}} &= &\dfrac{\mathrm{d} A_{1}}{\mathrm{d} t'}\overrightarrow{u_1}'+\dfrac{\mathrm{d} A_{2}}{\mathrm{d} t'}\overrightarrow{u_2}'+\dfrac{\mathrm{d} A_{3}}{\mathrm{d} t'}\overrightarrow{u_3}' \end{array}\right. \] D'après la relation \eqref{eq:defintion_vecteur_rotation} et puisque $t'=t$ en mécanique newtonienne, on trouve

Formule de dérivation vectorielle

\begin{equation} \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{A}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}=\left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{A}}{\mathrm{d} t'}\right|_{\mathcal{R}'}+\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{A} \label{eq:formule_de_derivation_vectorielle} \end{equation}

Cette formule de dérivation vectorielle traduit le fait que, par exemple, si un vecteur est fixe dans $\mathcal{R}$ alors il ne l'est plus dans $\mathcal{R}'$ dès lors que le référentiel tourne autour d'un axe non colinéaire à ce vecteur. Finalement, c'est précisément parce que la direction d'un vecteur dépend du référentiel que sa variation temporelle est relative à un référentiel.

Composition des vitesses et des accélérations

Mouvement D Entrainement

La relation de passage \eqref{eq:relation_de_passage} et la formule de dérivation vectorielle donnent \[ \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R}}=\left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}=\left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}'}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}=\left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{r}'}{\mathrm{d} t'}\right|_{\mathcal{R}'}+\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{r}' \] Le premier terme est le vecteur vitesse relative $\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}$. Le dernier terme quant à lui ne dépend que de la distance entre le point M et l'axe de rotation. En effet, on peut décomposer $\overrightarrow{r}'$ en composantes parallèle et perpendiculaire à l'axe : $\overrightarrow{r}'=\overrightarrow{r}'_\perp+\overrightarrow{r}'_\parallel$. Puisque $\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{r}'_\parallel=\overrightarrow{0}$, on trouve

\begin{equation} \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R}}= \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}+\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{r}'_\perp \label{eq:composition_des_vitesses_rotation} \end{equation}

Le terme $\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{r}'_\perp$ représente la vitesse du point M s'il était entraîné par la rotation de $\mathcal{R}'$. On parle alors de vitesse d'entraînement.

Poursuivons en dérivant à nouveau par rapport au temps : \[ \left.\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R}}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}= \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}}{\mathrm{d} t'}\right|_{\mathcal{R}'}+ \overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}+ \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\omega}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}\wedge\overrightarrow{r}'+ \overrightarrow{\omega}\wedge\left(\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}+ \overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{r}'\right) \]

ce qui donne \[ \left.\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R}}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}= \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}}{\mathrm{d} t'}\right|_{\mathcal{R}'}+ 2\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}}+ \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\omega}}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}\wedge\overrightarrow{r}'+ \overrightarrow{\omega}\wedge\left(\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{r}'\right) \] La rotation étant uniforme autour d'un axe fixe, $\mathrm{d}\overrightarrow{\omega}/\mathrm{d}t=\overrightarrow{0}$. Par ailleurs, si l'on utilise la décomposition $\overrightarrow{r}'=\overrightarrow{r}'_\perp+\overrightarrow{r}'_\parallel$ et l'identité $\overrightarrow{a}\wedge(\overrightarrow{b}\wedge \overrightarrow{c})=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c}) \overrightarrow{b}-(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}) \overrightarrow{c}$, on obtient \[ \begin{array}{rcl} \overrightarrow{\omega}\wedge\left(\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{r}'\right)&=& \overrightarrow{\omega}\wedge\left(\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{r}'_\perp\right) \\[2mm] &=& \left(\overrightarrow{\omega}\cdot \overrightarrow{r}'_\perp\right)\overrightarrow{\omega}-\omega^{2} \overrightarrow{r}'_\perp\\[2mm] \overrightarrow{\omega}\wedge\left(\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{r}'\right) &=& -\omega^{2} \overrightarrow{r}'_\perp \end{array} \] Finalement, l'accélération mesuré dans $\mathcal{R}$ s'écrit en fonction de celle mesurée dans $\mathcal{R}'$ via la relation

\begin{equation} \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}= \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}'}- \omega^{2} \overrightarrow{r}'_\perp +2\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}_{\text{M}/\mathcal{R'}} \label{eq:compositionAcceleration} \end{equation}

Force centrifuge

Admettons que le référentiel $\mathcal{R}$ soit galiléen et étudions le mouvement d'un point matériel M dans le référentiel $\mathcal{R'}$. Soumis à une force $\overrightarrow{F}$, son équation du mouvement dans $\mathcal{R}$ est donnée par \[ m \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{F} \] Compte tenu de la loi \eqref{eq:compositionAcceleration} et de l'invariance de la masse et de la force, on a \[ m' \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}'}=m\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}'}= \overrightarrow{F}'+m\omega^2 \overrightarrow{r}'_\perp- 2m\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{v}_{\rm M/\mathcal{R}'} \] Tout se passe comme si, vu de $\mathcal{R}'$, le point M subissait, en plus de $\overrightarrow{F}'=\overrightarrow{F}$, une force d'inertie \begin{equation} \overrightarrow{f_{\rm i}}=m\omega^2 \overrightarrow{r}'_\perp- 2m \overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{v}_{\rm M/\mathcal{R}'} \label{eq:force_d_inertie_2} \end{equation} Lorsque le point M est immobile dans $\mathcal{R}'$, cette force d'inertie se résume à

Force centrifuge

\begin{equation} \overrightarrow{f_{\rm ie}}=m\omega^2 \overrightarrow{r}'_\perp \label{eq:force_centrifuge} \end{equation}

Parce qu'elle tend à écarter la matière de l'axe de rotation, elle est dite force centrifugeLe terme axi-fuge serait plus correct.. Notez que son intensité varie comme le carré de la fréquence de rotation.

Enfin, cette force d'inertie a la particularité d'être conservative puisque le travail qu'elle produit le long d'un déplacement infinitésimal s'écrit comme une différentielle totale exacte : \[ \delta W=\overrightarrow{f_{\rm ie}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}= m\omega^{2}r'_\perp\,\mathrm{d}r'_\perp=-\mathrm{d}E_p \] ce qui donne une énergie potentielle centrifuge

Energie potentielle centrifuge

\begin{equation} E_{p}=-\frac{1}{2}m\omega^{2}{r'_\perp}^{2} \label{eq:energie_potentielle_centrifuge} \end{equation}

Exemple : véhicule dans un virage

Imaginons qu'un véhicule décrive un virage circulaire horizontal de rayon $R$ à la vitesse $v$ constante. Le passager, lié à son siège par sa ceinture de sécurité est fixe dans le référentiel tournant que représente la voiture. Ainsi, en plus des actions de contact (tension de la ceinture et réaction du siège) et de pesanteur, il faut ajouter la force centrifuge qui s'écrit \[ f_{ie}=m\omega^2\,r'_\perp=m\omega^2R=m\frac{v^2}{R} \] Cette force est compensée par les forces de contact (frottement du siège et tension de la ceinture).

Force Centrifuge
Le véhicule tourne. Le passager se sent déporté vers l'extérieur du virage.

Force d'inertie de Coriolis

Le deuxième terme qui intervient dans l'expression \eqref{eq:force_d_inertie_2} est la force de Coriolis.

Force de Coriolis

\begin{equation} \overrightarrow{f_{\rm ic}}=-2m\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v}_{\rm M/\mathcal{R}'} \label{eq:force_de_coriolis} \end{equation}

Cette force est liée au mouvement relatif du point M et à la rotation du référentiel tournant. Notez qu'elle est toujours perpendiculaire à la vitesse et ne travaille donc pas ! Elle peut courber la trajectoire mais ne peut pas faire varier l'énergie cinétique.

Exemple : force de Coriolis sur un plateau tournant

Force De Coriolis

Imaginons un plateau sur lequel on a fixé en périphérie deux robinets diamétralement opposés. Lorsque l'on ouvre les robinets, chacun envoie un jet d'eau en direction de l'axe du plateau. Si le plateau est immobile (par rapport à la Terre considéré galiléen) les deux jets se croisent.

Mettons maintenant en rotation le plateau puis ouvrons à nouveau les robinets. On observe alors que, non seulement les jets ne se croisent plus, mais ils s'écartent dans une direction qui défie l'intuition. Si l'on analyse le mouvement du jet dans le référentiel tournant, on s'aperçoit que c'est la force de Coriolis qui est responsable de la déviation vers la droite. En effet, un élément de fluide de masse $m$ subit deux forces d'inertie :

Généralisation

Les lois que l'on vient d'établir se généralisent. Donnons ici les résultats (pour une démonstration, voir complément).

Lois de composition du mouvement

De manière générale, le mouvement d'un référentiel par rapport à un autre est la composition d'une translation et d'une rotation. Ce mouvement est alors complètement déterminé par la vitesse de l'origine que nous notons $\overrightarrow{v}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}$ et par le vecteur rotation instantané $\overrightarrow{\omega}$ défini par

\begin{equation} \left.\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{u_k}'}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}=\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{u_k}'\quad\text{avec}\quad k\in\{1,2,3\} \label{eq:definition_vecteur_rotation} \end{equation}

Remarque

Le vecteur rotation peut varier en norme (rotation fixe avec une vitesse angulaire variable) mais aussi en direction (l'axe n'est alors plus fixe).

Loi de composition des vitesses

La loi de composition des vitesses fait apparaître deux termes : la vitesse relative et la vitesse d'entraînement. Le mouvement relatif, comme on l'a déjà expliqué, représente le mouvement de M vu par un observateur lié à $\mathcal{R'}$. La vitesse relative s'écrit donc \[ \overrightarrow{v_{\rm r}}(\rm M)=\overrightarrow{v}_{\rm M/\mathcal{R'}} \] Le mouvement d'entraînement quant à lui, correspond au mouvement dans $\mathcal{R}$ d'un point fictif M$^{\star}$, fixe dans $\mathcal{R}'$ et qui coïncide avec M à l'instant $t$ où l'on fait l'observation. Ainsi, par définition, la vitesse d'entraînement $\overrightarrow{v_{\rm e}}(\rm M)$ s'écrit \[ \overrightarrow{v_{\rm e}}(\rm M)=\overrightarrow{v}_{\rm M^\star/\mathcal{R}} \] Dans tous les cas, la loi de composition des vitesses prend la forme simple suivante :

À retenir

\begin{equation} \overrightarrow{v}_{\rm M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{v_{\rm r}}(\rm M)+ \overrightarrow{v_{\rm e}}(\rm M) \label{eq:composition_des_vitesse_general} \end{equation}

Loi de composition des accélérations

Contrairement à la vitesse, l'accélération vue dans $\mathcal{R}$ présente trois termes : l'accélération relative $\overrightarrow{a_{\rm r}}(\rm M)=\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}'}$, l'accélération d'entraînement $\overrightarrow{a_{\rm e}}(\rm M)=\overrightarrow{a}_{\rm M^{\star}/\mathcal{R}}$ et l'accélération de Coriolis $\overrightarrow{a_{\rm c}}(\rm M)=2\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{v_{\rm r}}(\rm M)$. On a la loi

À retenir

\begin{equation} \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}= \overrightarrow{a_{\rm r}}(\rm M)+ \overrightarrow{a_{\rm e}}(\rm M)+ 2\overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{v_{\rm r}}(\rm M) \label{eq:composition_des_accelerations} \end{equation}

Remarque

Attention, en général $\overrightarrow{a_{\rm e}}(\rm M) \neq\left.\dfrac{d \overrightarrow{v_{\rm e}}(\rm M)}{\mathrm{d} t}\right|_{\mathcal{R}}$.

Principe de relativité galiléenne

Supposons un point matériel M isolé dans un référentiel $\mathcal{R}$ considéré galiléen, et cherchons à quelle(s) condition(s) le référentiel $\mathcal{R}'$ présente un caractère galiléen, c'est-à-dire respecte le principe d'inertie.

En vertu de la loi de composition des accélérations on a \[ \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}'}+\overrightarrow{a_{\rm e}}(\rm M)+2\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v_{\rm r}}(\rm M) \] Or, le point M étant isolé, il vient $\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{0}$. Si l'on veut que le référentiel $\mathcal{R}'$ soit également galiléen, il faut $\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}'}=\overrightarrow{0}$ en vertu du principe d'inertie, soit \[ 2\overrightarrow{\omega}\wedge\overrightarrow{v_{\rm r}}(\rm M)+\overrightarrow{a_{\rm e}}(\rm M)= \overrightarrow{0}\quad \forall\overrightarrow{v_{\rm r}}(\rm M) \] relation qui implique deux conditions.

  1. D'une part, $\overrightarrow{\omega}=\overrightarrow{0}$ : $\mathcal{R}'$ est nécessairement en translation par rapport au référentiel galiléen.
  2. D'autre part $\overrightarrow{v}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}=\overrightarrow{\mathrm{C^{te}}}$ car $\overrightarrow{a_{\rm e}}(\rm M)=\overrightarrow{a}_{\mathcal{R}'/\mathcal{R}}$. Le référentiel est en translation uniforme.

Principe de relativité

Tout référentiel en translation uniforme par rapport à un référentiel galiléen est galiléen. Les lois de la mécanique dans ces référentiels sont les mêmes et il est impossible de les distinguer par une expérience de mécanique. Il n'existe donc pas de référentiel absolu qui permettrait de faire la différence entre un référentiel au repos et un référentiel en translation uniforme.

Notez que le caractère galiléen d'un référentiel est lié à la validité du principe d'inertie. Le critère de validité dépend donc de la précision que l'on exige. C'est pourquoi, les référentiels considérés galiléens le sont dans un cadre approximatif à préciser. Citons-en quelques uns couramment utilisés.

Referentiel Geocentrique
Le référentiel géocentrique est en translation elliptique par rapport au référentiel de Copernic. L'excentricité de l'orbite terrestre a été exagérée sur le schéma.
Référentiel de Copernic
Il s'agit d'un référentiel lié au centre d'inertie du système solaire et dont les axes pointent vers trois étoiles dites fixes. Il est utilisé en tant que référentiel galiléen lorsque l'on considère des expériences terrestres longues où la rotation de la Terre autour du Soleil ne peut être négligée. Rigoureusement, ce référentiel n’est pas galiléen car le Soleil est en mouvement dans notre galaxie, la Voie Lactée. Il décrit une orbite circulaire de rayon $D\simeq 30 000\;\mathrm{al}$ autour du noyau galactique en une période $T_{\rm S}=250.10^{6}$ années. On peut donc se contenter du référentiel de Copernic comme référentiel galiléen tant que la durée de l’expérience est très faible devant $T_{\rm S}$. Concrètement cette dernière condition est toujours vérifiée pour des expériences humaines.
Référentiel géocentrique
Référentiel lié au centre de la Terre et dont les axes conservent la même orientation par rapport au référentiel de Copernic. Il est donc en translation quasi-circulaire par rapport au référentiel de Copernic. On peut le considérer comme galiléen sur des expériences terrestres peu longues (une journée maximum), car, dans ce cas, le mouvement du centre de la Terre est alors assimilable à une trajectoire quasi-rectiligne uniforme.
Référentiel terrestre
Référentiel lié à la surface de la Terre et dont les axes pointent traditionnellement vers le Sud, l'Est et le Zénith. Par rapport au référentiel géocentrique, ce référentiel est en rotation ($\omega=2\pi/T_{0}=7,3.10^{-5}\;\mathrm{rad.s^{-1}}$ avec $T_{0}=$ 23h 56min 04s) autour de l'axe des pôles. Bien que rigoureusement non galiléen, ce référentiel est souvent traité comme tel car les effets de la rotation terrestre sont souvent négligeables dans les expériences courantes.

Lois de la dynamique en référentiel non galiléen

Reprenons le raisonnement du §1.3 dans le cas général : si le référentiel $\mathcal{R}$ est galiléen, un point matériel M de masse $m$ soumis à une résultante des forces $\overrightarrow{F}$ est régi par l'équation du mouvement \[ m \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{F} \] Dans un référentiel $\mathcal{R'}$ accéléré compte tenu de l'invariance de la masse et de la force, on a \[ \overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R}}=\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R'}}+\overrightarrow{a_{\rm e}}(\rm M)+\overrightarrow{a_{\rm c}}(\rm M)= \frac{\overrightarrow{F}}{m}=\frac{\overrightarrow{F}'}{m'} \] de sorte que

RFD dans un référentiel non galiléen

\[ m'\overrightarrow{a}_{\rm M/\mathcal{R'}}= \overrightarrow{F}'+\overrightarrow{f_{\rm ie}}+\overrightarrow{f_{\rm ic}} \] \[ \quad\text{avec}\quad \begin{cases} \overrightarrow{f_{\rm ie}} &=-m\overrightarrow{a_{\rm e}}(\rm M)\\ \overrightarrow{f_{\rm ic}} &=-m\overrightarrow{a_{\rm c}}(\rm M)=-2m \overrightarrow{\omega}\wedge \overrightarrow{v_r}(M) \end{cases} \]

Finalement, dans un référentiel non galiléen, tout se passe comme si la relation fondamentale de la dynamique était valide à condition d'ajouter dans le bilan des forces, deux forces fictives : la force d'inertie d'entraînement $\overrightarrow{f_{ie}}$ et la force d'inertie de Coriolis $\overrightarrow{f_{\rm ic}}$. Ces deux forces d'inertie étant liées au mouvement de $\mathcal{R}'$ par rapport à un référentiel galiléen $\mathcal{R}$, ils apportent des renseignements sur le caractère non galiléen de $\mathcal{R}'$.

En conclusion, une expérience de mécanique ne permet pas de faire la différence entre deux référentiels galiléens. En revanche, elle permet de différentier un référentiel galiléen d'un référentiel non galiléen.

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Pour en savoir plus...

  1. J. N. Boyd and P. N. Raychowdhury.Coriolis acceleration without vectors. American Journal of Physics, 49, 498-499 (1981). http://dx.doi.org/10.1119/1.12493
  2. A. G. Schmidt.Coriolis acceleration and conservation of angular momentum. American Journal of Physics, 54, 755-757 (1986). http://dx.doi.org/10.1119/1.14476
  3. T. Gerkema and L. Gostiaux.Petite histoire de la force de Coriolis Reflets phys., N°17 (2009-2010) 18-21. http://dx.doi.org/10.1051/refdp/2009026