F

MENUCours de Mécanique classique

Nous abordons dans ce chapitre les processus de collision qui font intervenir deux particules ou objets macroscopiques. Nous verrons comment, malgré l'absence d'information sur l'interaction durant la collision, il nous est possible de décrire complètement ou partiellement l'état du système après la collision si on le connaît avant le choc.

Lois de conservation

Position du problème

Il existe des situations dans lesquelles des corps matériels interagissent entre eux seulement lorsqu'ils sont très proches. Par ailleurs, il arrive souvent que cette interaction soit difficile à expliciter. Dans ce cas, le point de vue le plus simple consiste à dire que les particules subissent un choc : on suppose alors qu'ils n'interagissent pas avant ni après et que l'interaction se produit sur une durée très courte.

Définition

On dit qu'il y a collision ou choc entre deux ou plusieurs particules quand ces objets subissent une interaction mutuelle de courte durée et de courte portée. Le choc est localisé dans le temps et l'espace. En règle générale, les forces d'interaction sont négligeables quand les particules sont suffisamment éloignées. On peut donc distinguer un avant et un après la collision.

Choc

Ainsi, avant et après la collision, les particules se déplacent en ligne droite avec des vitesses uniformes. On notera $\overrightarrow{v_i}$ la vitesse d'une particule avant le choc et $\overrightarrow{v_i}'$ celle après. La problématique est la suivante : compte tenu de la mesure des vitesses $\overrightarrow{v_i}$, peut-on déduire quelques informations sur les vitesses $v'_i$ malgré l'absence de détails concernant l'interaction lors du choc ? Réciproquement, quelle information nous apporte la mesure des vitesses finales $\overrightarrow{v_i}'$ ?

Remarque

Contrairement à l'usage courant du terme, une collision ici n'implique pas forcément qu'il y ait un impact ! Ainsi, le problème d'une comète qui passerait au voisinage du soleil peut être vu comme une collision.

Grandeurs conservées

Malgré notre connaissance partielle du problème, on peut obtenir certaines informations grâce aux lois de conservation et/ou de symétrie. Désignons par $\mathcal{S}$ le système mécanique formé par l'ensemble des particules. On considère ce système isolé de l'extérieur ($\overrightarrow{F}{}^{\!\mathrm{ext}}=\overrightarrow{0}$). Enfin, l'analyse est effectué dans un référentiel galiléen.

Conservation de la quantité de mouvement du système

D'après le théorème du centre d'inertie on a \[ \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{p}_{\mathcal{S}}}{\mathrm{d} t}=\overrightarrow{F}{}^{\!\mathrm{ext}}=\overrightarrow{0} \] La quantité de mouvement du système se conserve donc.

Conservation de la quantité de mouvement

\begin{equation} \overrightarrow{p}_{\!\mathcal{S}}^{\text{avant}}=\overrightarrow{p}_{\mathcal{S}}^{\text{après}} \label{eq:conservation_de_l_impulsion} \end{equation}

Conservation de l'énergie

Si les forces d'interaction dérivent d'une énergie potentielle d'interaction $\mathcal{E}_\text{p}^{\mathrm{int}}$, alors l'énergie totale du système s'écrit : \[\mathcal{E}=\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})+\mathcal{E}_\text{p}^{\mathrm{int}}(\mathcal{S})+\sum_{\mathrm{particules}} U_{i}\] où $\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})$ représente l'énergie cinétique macroscopique du système, $\mathcal{E}_\text{p}^{\mathrm{int}}(\mathcal{S})$ l'énergie d'interaction entre les particules et $U_{i}$ l'énergie interne de chaque particule.

Le système étant isolé de l'extérieur, l'énergie totale se conserve. De plus, avant et après le choc, on considère que les particules n'interagissent pas entre elles. On peut donc écrire, si l'on note $N_{1}$ le nombre de particules avant le choc et $N_{2}$ celui après le choc :

Conservation de l'énergie

\begin{equation} \left[\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})+\sum_{i=1}^{N_1} U_{i}\right]^{\text{avant}}= \left[\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})+\sum_{i=1}^{N_2} U_{i}\right]^{\text{après}} \label{eq:conservation_de_Ec} \end{equation}

Dans la suite on se limite aux collisions mobilisant seulement deux points matériels.

Collisions élastiques

Définition

On dit qu'il y a collision élastique lorsque le nombre de particules reste constant et que l'énergie interne de chaque particule reste inchangée avant et après le choc. En d'autres termes, les particules ne se déforment pas ni ne changent de nature. Les lois de conservation sont donc

Collision élastique

\begin{equation} m_i=m'_i \quad\text{et}\quad \overrightarrow{p}_{\!\mathcal{S}}^{\text{avant}}=\overrightarrow{p}_{\mathcal{S}}^{\text{après}} \quad\text{et}\quad \mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})^{\text{avant}}=\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})^{{\text{après}}} \label{eq:lois_de_conservation_collision_elastique} \end{equation}

Citons quelques exemples :

Collision unidimensionnelle

Traitons l'exemple d'une collision frontale élastique entre deux corps assimilables à deux points matériels. Notons $\overrightarrow{v_1}$, $\overrightarrow{v_2}$ les vitesses avant le choc et $\overrightarrow{v_1}'$, $\overrightarrow{v_2}'$ les vitesses après le choc. On se place dans le cas où toutes les vitesses sont colinéaires. Le problème est donc à une dimension et présente deux inconnues (${v_1}'$ et ${v_2}'$). Ainsi, les deux lois de conservation devraient suffire à décrire complètement le système après le choc.

Collision unidimensionnelle
Collision frontale unidimensionnelle

Écrivons les deux relations de conservation (conservation de la quantité de mouvement et de l'énergie cinétique) \[ \left\{\begin{array}{ccc} m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2} &=& m_{1}{v_1}'+m_{2}{v_2}'\\[2mm] m_{1}{v_1}^2+m_{2}{v_2}^2 &=& m_{1}({v_1}')^2+m_2({v_2}')^2 \end{array}\right.\] où les vitesses $v_i$ et ${v_i}'$ sont des vitesses algébriques. Cela donne \[ \left\{\begin{array}{lcr} m_{1}({v_1}'-v_1) &=& m_2(v_2-{v_2}')\\[2mm] m_{1}(({v_1}')^2-{v_1}^2) &=& m_2({v_2}^2-({v_2}')^2) \end{array}\right. \] En divisant la deuxième relation par la première on obtient ${v_1}'+v_{1}={v_2}'+v_{2}$, et, par substitution, on trouve les vitesses finales en fonction des vitesses initiales : \[ \begin{array}{ccc} {v_1}' & = & \dfrac{2\,m_2v_2+(m_1-m_2)v_1}{m_1+m_2}\\[3mm] {v_2}' & = & \dfrac{(m_2-m_1)v_2+2\,m_1v_1}{m_1+m_2} \end{array} \] Notez la symétrie de la solution ; il y a invariance par échange des indices $1\leftrightarrow2$.

Cas où la cible est immobile

La cible étant immobile, on a $v_2=0$ d'où \[ \begin{array}{ccc} {v_{1}}' & = & \dfrac{(m_{1}-m_{2})}{m_{1}+m_{2}}v_1\\[3mm] {v_2}' & = & \dfrac{2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}v_1 \end{array} \] On note que si la cible est plus lourde que le projectile, ce dernier rebondit en changeant de sens $({v_1}' < 0)$. Dans tous les cas, la vitesse du projectile diminue en valeur absolue. On peut vérifier que l'énergie cinétique perdue par le projectile vaut \begin{equation} Q=\mathcal{E}'_\text{c1}-\mathcal{E}_\text{c1}=\frac{4m_{1}m_{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}}\mathcal{E}_\text{c1} \label{eq:RBS} \end{equation}

Cette dernière relation est mise à profit en Spectroscopie de Rétrodiffusion de Rutherford (ou RBS pour Rutherford Backscattering Spectrometry). Cette technique d'analyse utilisée en science des matériaux consiste à envoyer des ions légers mais rapides (des particules alpha $_2^4\mathsf{He}^{2+}$, ou des protons en général) sur la surface d'un matériaux. Grâce à l'interaction coulombienne, les noyaux en surface font rebondir à 180° certains noyaux alpha. Ce processus s'accompagne d'une perte d'énergie cinétique qui dépend des masses comme le suggère la formule \eqref{eq:RBS}. La mesure de la perte d'énergie permet donc de déduire la composition chimique à la surface d'un matériau.

Voyons maintenant quelques cas particuliers.
  1. Si le projectile est beaucoup plus léger que la cible $(m_{1}\ll m_{2})$ on a \[v'_{1} \simeq -v_{1} \quad\text{et}\quad v'_{2} \simeq 0 \] Il y a rebond avec inversion du sens de la vitesse. Ayant une grande inertie, la cible ne bouge pas. C'est ce que l'on obtient lorsqu'on laisse tomber une boule indéformable par terre sur un sol parfaitement rigide.
  2. À l'inverse, si $m_{1}\gg m_{2}$ on obtient \[v'_{1} \simeq v_{1} \quad\text{et}\quad v'_{2} \simeq 2v_{1} \] c'est ce qui se passe quand on tape dans une balle avec une raquette par exemple.
  3. Pendule de Newton
    Pendule de Newton
  4. Si projectile et cible ont même masse, on obtient \[v'_{1} = 0 \quad\text{et}\quad v'_{2} = v_{1}\] il y a échange des vitesses. C'est ce phénomène qui est à l'origine des oscillations du pendule de Newton par exemple.

Collision à 3 dimensions

Considérons la collision élastique entre un point matériel de masse $m_1$ animé d'une vitesse $\overrightarrow{v_1}$ et un point matériel de masse $m_2$ initialement au repos.

Collision unidimensionnelle

Les lois de conservation donnent \[ \left\{\begin{array}{ccc} m_{1}\overrightarrow{v_{1}} &=& m_{1}{\overrightarrow{v_1}}'+m_{2}{\overrightarrow{v_2}}'\\[2mm] m_{1}{v_1}^2 &=& m_{1}{v_1}'^2+m_2{v_2}'^2 \end{array}\right. \] Ce système présente quatre équations scalaires pour six inconnues (${\overrightarrow{v_1}}'$ et ${\overrightarrow{v_2}}'$). Il reste donc deux paramètres indéterminés si on se limite aux lois de conservation. Par exemple, la première relation nous dit que le mouvement se fait dans un plan contenant $\overrightarrow{v_1}$. Il nous suffit d'un paramètre (un angle par exemple) pour fixer ce plan. Ensuite si l'on connait la déviation entre les particules, alors les autres paramètres sont accessibles. Notez que seule une étude complète faisant intervenir l'interaction permet d'accéder à toutes les informations.

Cas où $m_1=m_2$

Cette situation se rencontre par exemple au billard si l'on n'oublie les effets produits par la rotation de la bille. Le système d'équations précédent donne \[ \left\{\begin{array}{ccc} \overrightarrow{v_{1}} &=& {\overrightarrow{v_1}}'+{\overrightarrow{v_2}}'\\[2mm] {v_1}^2 &=& {v_1}'^2+{v_2}'^2 \end{array}\right. \] Si on élève la première équation au carré, on trouve ${v_1}^2 = {v_1}'^2+{v_2}'^2+2{\overrightarrow{v_1}}'\cdot {\overrightarrow{v_2}}'$. En la soustrayant à la deuxième, on obtient \[ {\overrightarrow{v_1}}'\cdot {\overrightarrow{v_2}}'=0 \] Les deux vecteurs vitesses forment un angle droit. Autrement dit, on a $\theta_1-\theta_2=\pi/2$.

Continuons en multipliant la première relation par ${\overrightarrow{v_1}}'$ : \[ {\overrightarrow{v_1}}'\cdot{\overrightarrow{v_1}}={\overrightarrow{v_1}}'^2+{\overrightarrow{v_1}}'\cdot {\overrightarrow{v_2}}'={\overrightarrow{v_1}}'^2 \] soit \[ v_1 v_1'\cos\theta_1=v_1'^2 \quad\Longrightarrow\quad v_1'=v_1\cos\theta_1 \] De la même façon, en multipliant la première relation par ${\overrightarrow{v_2}}'$ on obtient $v_2'=v_1\cos\theta_2$. En résumé on a \[ v_1'=v_1\cos\theta_1 \quad\text{et}\quad v_2'=v_1\cos\theta_2 \quad\text{et}\quad \theta_1-\theta_2=\pi/2 \]

Paramètre d'impact

Par conséquent, si l'on connait $\theta_1$ et $v_1$ on peut calculer $v_1'$, puis $\theta_2$ et $v_2'$. Dans le cas du billard, l'angle $\theta_1$ ne dépend que d'une grandeur : le paramètre d'impact $b$. On montre que \[ \cos\theta_1=\frac{b}{2R} \] où $R$ représente le rayon des billes. En visée pleine bille, $b=0$ et $\theta_2=0$. Dans ce cas, on obtient $v_1'=0$ et $v_2'=v_1$ : on retrouve la collision directe de deux masses identiques. En visée demi-bille, $b=R/2$ d'où $\theta_1=$ 60°, $\theta_2=$ -30°, $v_1'=v_1/2$ et $v_2'=v_1\,\sqrt{3}/2$. Dans le cas où la bille frôle la cible (on parle de visée finesse) on a $b\to 2R$, $\theta_2\to \pi/2$ et $v_2'\simeq 0$ : la cible est dévié de 90° par rapport à la ligne de visée avec une vitesse cependant faible.

Collisions inélastiques

Définition

On dit qu'une collision est inélastique lorsqu'une partie de l'énergie cinétique initiale du système s'est transformée en d'autres formes d'énergie. La collision s'accompagne alors d'une variation d'énergie interne et/ou d'une modification du nombre de particules, certaines pouvant être créées par fragmentation ou par équivalence masse-énergie. Les exemples sont nombreux :

Le caractère inélastique de la collision est mesurée par la quantité d'énergie \[ Q=\mathcal{E}_\text{c}(S)^{\text{après}}-\mathcal{E}_\text{c}(S)^{\text{avant}}= \left[\sum_{{i=1..N_{2}}}U_{i}\right]^{\textrm{avant}}-\left[\sum_{{i=1..N_{1}}}U_{i}\right]^{\text{après}} \] De l'énergie est libérée si $Q>0$ et dissipée si $Q<0$.

Choc mou

Supposons qu'une particule de masse $m_1$ se déplaçant à la vitesse $\overrightarrow{v}$, heurte une cible immobile de masse $m_2$, puis qu'elle se lie à elle. On parle alors de choc mou. Après la collision, l'ensemble se déplace à la vitesse $\overrightarrow{v}'$. Quelle est alors la perte d'énergie ?

Choc mou

Les lois de conservation s'écrivent \[ m_1 \overrightarrow{v}=(m_1+m_2)\overrightarrow{v}' \quad\text{et}\quad \frac12 m_1 v^2+Q=\frac12(m_1+m_2){v'}^2 \] Ainsi $\overrightarrow{v}'$ est colinéaire à $\overrightarrow{v}$ : le problème est unidimensionnel. On trouve \[ v'=\frac{m_1}{m_1+m_2}v \quad\text{et}\quad Q=-\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}v^2 \]

Exercice

Retrouver ce dernier résultat en raisonnant dans le référentiel barycentrique.

Dans le référentiel barycentrique, la conservation de l'énergie s'écrit $Q+{\mathcal{E}_\text{c}^*}^{\text{avant}}={\mathcal{E}_\text{c}^*}^{\text{après}}$. Or, l'énergie cinétique barycentrique s'écrit $\mathcal{E}_\text{c}^*=1/2\mu{v_{1/2}}^2$ où $\mu$ désigne la masse réduite et $v_{1/2}$ la vitesse relative des deux corps (cf. Problème à deux corps). Par conséquent, après la collision, ${\mathcal{E}_\text{c}^*}^{\text{après}}=0$ et avant la collision ${\mathcal{E}_\text{c}^*}^{\text{avant}}=\frac12 \mu v^2$. Finalement, on a \[Q=-{\mathcal{E}_\text{c}^*}^{\text{avant}}=-\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}v^2\]

La proportion d'énergie dissipée vaut \[ \frac{|Q|}{\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})}=\frac{m_2}{m_1+m_2} \] Autrement dit, si $m_2\gg m_1$, quasiment toute l'énergie cinétique du projectile est dissipée.

Coefficient de restitution

Laissons tomber une balle B sur une surface S rigide : on constate qu'elle rebondit mais la hauteur des rebonds ne cesse de décroître au cours du temps, ce qui traduit une dissipation d'énergie cinétique au moment de l'impact. En effet, lors de l'impact une partie de l'énergie cinétique s'est convertie en énergie interne (échauffement et déformation). L'analyse d'un rebond étant très complexe, on adopte une approche phénoménologique en définissant un coefficient de restitution pour exprimer cette perte. Ce coefficient, noté $e$ vaut, par définition, \begin{equation} e\equiv \frac{{v_{\mathrm{B/S}}}^{\text{après}}}{{v_{\mathrm{B/S}}}^{\text{avant}}} \end{equation} où avant et après désignent les moments juste avant le choc et juste après. Ce coefficient, généralement compris entre 0 et 1, dépend de la constitution des corps qui entrent en collision.

Chocélastiqueacier-acierballe superélastiquebois-boischoc mou
$e=$10,950,950,50

Exemple : mesure d'un coefficient de restitution

Lâchons une balle d'une hauteur $h_0$ dans le champ de pesanteur $g$. La balle arrive au niveau du sol à la vitesse $v_0=\sqrt{2gh_0}$. Juste après le premier choc, la balle acquiert une vitesse $v_1=e\,v_0$. Après le nème rebond, elle remonte avec une vitesse $v_n=e^n\,v_0$. Or, on sait que la durée $t_n$ du nème rebond est reliée à la vitesse d'ascension via la relation $v_n=\frac12 gt_n$ (notez qu'un rebond correspond à un aller-retour d'où le facteur 1/2). Finalement, la durée de chaque rebond s'écrit $t_n=e^n\,t_0$. Ainsi, si l'on porte $y=\ln t_n$ en fonction de $x=n$ on obtient une droite affine d'équation $y=ax+b$ avec un coefficient directeur $a=\ln e$ ce qui permet d'obtenir le facteur de restitution.

De manière générale, pour une collision inélastique directe, on définit le coefficient de restitution à partir du rapport des vitesses relatives : \begin{equation} e = \dfrac{v'_2-v'_1}{v_1-v_2} \end{equation}

Exercice

Un point matériel de masse $\boldsymbol{m_1}$ animé d'une vitesse $\boldsymbol{v_1}$ entre en collision avec un point matériel au repos de masse $\boldsymbol{m_2}$. Sachant que la collision est unidimensionnelle et inélastique de coefficient de restitution $\boldsymbol{e}$, exprimer les vitesses après le chocs.

La conservation de la quantité de mouvement du système s'écrit \[ m_1v_1=m_1{v_1}'+m_2{v_2}' \] et l'aspect inélastique de la collision se traduit par \[ {v_2}'-{v_1}'=ev_1 \] Il en découle les résultats suivants : \[ {v_1}'=\frac{m_1-em_2}{m_1+m_2}v_1 \quad\text{et}\quad {v_2}'=\frac{m_1(1+e)}{m_1+m_2}v_1 \] On retrouve le cas du choc élastique et du choc mou en faisant respectivement $e=1$ et $e=0$.

Désintégration d'une particule au repos

Considérons un noyau X au repos qui se désintègre spontanément en deux noyaux X1 et X2 de masse $m_1$ et $m_2$. Appelons $Q$ l'énergie libérée par la réaction nucléaire. Rappelons que dans ces réactions il existe une infime différence entre la masse $m$ du noyau X et celle $m_1+m_2$ des produits. Cette différence $\Delta m=m-(m_1+m_2)$ est responsable, par équivalence énergie-masse, de l'énergie libérée $Q=\Delta mc^2$.

Appliquons les lois de conservation : \[ Q=\mathcal{E}_\text{c1}+\mathcal{E}_\text{c2} \quad\text{et}\quad m_1 {\overrightarrow{v_1}}'+m_2 {\overrightarrow{v_2}}'=\overrightarrow{0} \] avec $\mathcal{E}_\text{ci}$ l'énergie cinétique des noyaux fils. Comme $(m_1 {\overrightarrow{v_i}}')^2=2m_i\mathcal{E}_\text{ci}$, il vient \[ Q=\mathcal{E}_\text{c1}+\mathcal{E}_\text{c2} \quad\text{et}\quad m_1 \mathcal{E}_\text{c1}=m_2\mathcal{E}_\text{c2} \]

Finalement, on trouve

\begin{equation} \mathcal{E}_\text{c1}=\frac{m_2}{m_1+m_2}Q \quad\text{et}\quad \mathcal{E}_\text{c2}=\frac{m_1}{m_1+m_2}Q \label{eq:energie_des_particules_apres_desintegration} \end{equation}

Ainsi, la particule la plus légère emporte la quasi-totalité de l'énergie de réaction.

Exercice

Un noyau d'uranium $\boldsymbol{^{238}\mathsf{U}}$ au repos se désintègre en émettant une particule alpha ($\boldsymbol{_2^4\mathsf{He}^{2+}}$) et en laissant un noyau résiduel de thorium $\boldsymbol{^{234}\mathsf{Th}}$ ($\boldsymbol{m_2\simeq}$ 234 uma). L'énergie produite par cette désintégration vaut $\boldsymbol{Q=}$ 4,18 MeV. Que vaut l'énergie cinétique et la vitesse de la particule alpha ?

Sachant que $m_1=$ 4 uma, on trouve \[\mathcal{E}_\text{c1}=\frac{234}{234+4}\times4,18=4,11\;\mathrm{MeV}=6,58.10^{-13}\;\mathrm{J}\] Si l'on suppose la particule non relativiste, on a $\mathcal{E}_\text{c1}=1/2m_1{{v_1}'}^2$. Considérant que 1 uma = 1 g/$\mathcal{N}_A$, on trouve \[v_1=1,41.10^{7}\;\mathrm{m.s^{-1}}\] Notez que l'hypothèse d'une particule non relativiste est recevable puisque le facteur relativiste $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-(v/c)^2}}=1,001$.

Vous aimez ?

Pour en savoir plus...

  1. David Sénéchal.PHQ110 – Mécanique IUniversité de Sherbrooke - Département de physique [en ligne, consulté le 2015-09-24]http://www.physique.usherbrooke.ca/pages/node/7929