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MENUCours de Mécanique classique

Introduction

Par définition, les coniques sont les sections d'un cône de révolution par un plan ne passant pas par son sommet. Il existe trois formes différentes : l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Une conique possède au moins un foyer F et un axe de symétrie passant par F. L'équation polaire d'une conique avec origine au foyer s'écrit : \[r(\theta)=\frac{p}{e\cos(\theta-\theta_{0}) \pm 1} \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{ccc} p &>& 0 \\ e &\geq& 0 \end{array}\right.\] $p$ est appelé paramètre et $e$ excentricité de la conique. Étant donné que la transformation $\theta-\theta_{0}\mapsto \theta_{0}-\theta$ laisse invariante la conique, celle-ci présente donc toujours un axe de symétrie, ici l'axe $\theta=\theta_{0}$. Par commodité, nous prendrons l'axe F$x$ comme axe de symétrie de sorte que $\theta_{0}=0$.

L'ellipse

Propriétés de l'ellipse

Par définition, l'ellipse est une conique d'excentricité $e<1$. Son équation polaire s'écrit donc :

\begin{equation} r(\theta)=\frac{p}{e\cos(\theta) +1} \quad\text{avec}\quad p>0 \quad\text{et}\quad 0≤e<1 \label{eq:C7equation_polaire_ellipse} \end{equation}
Ellipse
L'ellipse

On remarque immédiatement que lorsque $e=0$, l'ellipse se confond avec le cercle de centre F et de rayon $p$. Dans le cas ou $e\neq 0$, l'ellipse présente les propriétés suivantes.

Équation cartésienne

L'équation cartésienne est relativement simple si l'origine du repère est placé au centre de l'ellipse. En effet, écrivons l'équation \eqref{eq:C7equation_polaire_ellipse} sous la forme $r=p-re\cos\theta$ et substituons les coordonnées cartésiennes $x=r\cos\theta+c$ et $y=r\sin\theta$ : \[ r=p-e(x-c) \quad\Longrightarrow\quad r^2=(x-c)^2+y^2=p^2+e^2(x-c)^2-2ep(x-c)\] Développons en plaçant les termes quadratiques à gauche : \[x^2(1-e^2)+y^2=p^2+e^2c^2+2epc-c^2+x(2c-2ce^2-2pe)\] Sachant que $p=a(1-e^2)$ et $c=ea$, la relation devient \[x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)^2+e^4a^2+2a^2e^2(1-e^2)-e^2a^2+x\left(2ea-2ae^3-2ae(1-e^2)\right) \] soit, après simplification : \begin{equation} x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2) \label{eq:C7equation_cartesienne_conique} \end{equation} Le terme de droite représente $a^2-c^2=b^2$ de sorte que l'équation cartésienne d'une ellipse de demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s'écrit

Équation cartésienne

\begin{equation} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \label{eq:C7equation_cartesienne_ellipse} \end{equation}

La parabole

Propriétés

Parabole
La parabole

Par définition, la parabole est une conique d'excentricité $e=1$. Son équation polaire avec origine au foyer est donc \[r(\theta)=\frac{p}{1+\cos\theta}\] On est toujours en présence de la symétrie d'axe O$x$. Le péricentre est obtenu lorsque $\theta=0$ et se situe à la distance $p/2$ du foyer, appelée distance focale. Par ailleurs, lorsque $\theta\to \pm\pi$, la distance FM tend vers l'infini.

Équation cartésienne

Plaçons l'origine d'un repère cartésien au péricentre (appelé aussi sommet de la parabole) en orientant l'axe O$x$ vers la gauche. Écrivons l'équation polaire sous la forme $r=p-r\cos\theta$ et substituons les coordonnées cartésiennes $x=p/2-r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ : \[ \sqrt{y^2+(x-\frac{p}{2})^2}=p+(x-\frac{p}{2})\] Élevons au carré : \[ y^2+(x-\frac{p}{2})^2=p^2+(x-\frac{p}{2})^2+2p(x-\frac{p}{2})\] Après simplification, on trouve que l'équation cartésienne d'une parabole de paramètre $p$ s'écrit

\begin{equation} y^{2}=2p\,x \label{eq:C7equation_cartesienne_parabole} \end{equation}

Remarque

Si l'on transforme $x\to y$ et $y\to -x$, cela revient à tourner la parabole de $-\pi/2$. On obtient dans ce cas l'équation usuelle d'une parabole : $y=\frac{1}{2p}x^2$.

L'hyperbole

Propriétés

Par définition, l'hyperbole est une conique d'excentricité $e>1$ et d'équation polaire \[r(\theta)=\frac{p}{e\cos\theta \pm1} \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{ccc} p &>& 0 \\ e &>& 1 \end{array}\right.\] ce qui décrit deux branches d'hyperbole dont les asymptotes se coupent en un point O.

Hyperboles
Hyperbole d'excentricité $e=1,6$.

L'équation \[r_{-}(\theta)=\frac{p}{e\cos\theta -1}\] décrit une branche $\mathcal{B}_{-}$ dont les asymptotes font un angle $\pm \theta_{1}$ avec l'axe des abscisses. En effet, $r$ diverge quand $\cos\theta_{1}=1/e$ ce qui donne la pente des asymptotes : \[\tan\theta_{1}=\pm\sqrt{e^{2}-1}\] De la même façon, l'équation \[r_{+}(\theta)=\frac{p}{e\cos\theta +1}\] décrit une deuxième branche $\mathcal{B}_{+}$ d'hyperbole dont les asymptotes font un angle $\pm\theta_{2}$ donné par $\cos\theta_{2}=-1/e$. Ainsi, \[\theta_{2}=\pi-\theta_{1}\] et les asymptotes présentent une symétrie d'axe O$y$. Finalement les asymptotes admettent une symétrie centrale de centre O, propriété partagée par les branches d'hyperbole.

Soit le rectangle tangent à l'hyperbole en $\theta=0$ et dont les sommets sont sur les asymptotes. Par définition, les dimensions de ce rectangle sont appelées grand-axe et petit-axe de l'hyperbole et notées respectivement $2a$ et $2b$. La distance focale $c$ est ici la distance qui sépare O du foyer (comme pour l'ellipse). Une simple lecture des distances donne : \[\left\{\begin{array}{rcl} \dfrac{p}{e-1}-\dfrac{p}{e+1} &=& 2a \\[4mm] \dfrac{p}{e-1} &=& c+a \\ \end{array}\right. \quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcl} p &=& a(e^{2}-1) \\[4mm] e &=& \dfrac{c}{a} \\ \end{array}\right.\] Par ailleurs, la pente des asymptotes vaut aussi $\pm b/a$ de sorte que $b/a=\sqrt{e^{2}-1}$ c'est-à-dire

\begin{equation} c^{2}=a^{2}+b^{2} \label{eq:C7relation_entre_a_b_et_c_pour_hyperbole} \end{equation}

Équation cartésienne

Reprenons la démarche employée dans le cas de l'ellipse sans oublier de procéder aux modifications suivantes :

  1. l'origine étant à droite du foyer, il faut poser $x=r\cos\theta-c$ ;
  2. le paramètre $p$ est relié à l'excentricité et au demi grand-axe par $p=a(e^2-1)$.

On retrouve alors l'équation \eqref{eq:C7equation_cartesienne_conique} valable donc aussi bien pour une ellipse que pour une hyperbole : \[ x^2(1-e^2)+y^2=a^2(1-e^2)\] Ici, le terme $a^2(1-e^2)$ vaut $a^2-c^2=-b^2$ de sorte que l'équation cartésienne d'une hyperbole demi-grand axe $a$ et de demi-petit axe $b$ s'écrit

\begin{equation} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \label{eq:C7equation_cartesienne_hyperbole} \end{equation}

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