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MENUCours de Mécanique classique

Si l'on consacre un chapitre à étudier un système aussi simple qu'une masse accrochée à un ressort c'est que ce système mécanique permet d'introduire un concept important aussi bien en mécanique que dans de nombreux autres domaines de la science (chimie, physique des matériaux, électricité, génie civil etc) : l'oscillateur. L'essentiel de ce chapitre est donc consacré à l'étude de l'oscillateur harmonique en régime libre et forcé puis on termine par une introduction aux effets non linéaires.

Notion d'oscillateur harmonique

Pendule élastique non amorti

Pendule Elastique

Le pendule élastique est un système constitué d'un ressort de masse négligeable dont une extrémité est fixée et auquel on a attaché une masse ponctuelle $m$ libre de se mouvoir. Le ressort a pour constante de raideur $k$ et une longueur à vide $\ell_{0}$. De plus, nous supposons que la masse est astreinte à se déplacer suivant un axe horizontal sans frottement. On a alors un système à un degré de liberté qui est amené à osciller comme nous allons le démontrer.

Équation du mouvement

Dans le référentiel d'étude considéré galiléen, la force de pesanteur est compensée par la réaction du support puisqu'il n'y a pas d'accélération verticale. Pour le mouvement horizontal, la tension du ressort produit une force de rappel \[\overrightarrow{T}=-k(\ell-\ell_{0})\, \overrightarrow{u_x}\] où $\ell$ désigne la longueur du ressort. La position d'équilibre correspond donc à une longueur $\ell_{eq}=\ell_{0}$. On désigne par $x=\ell-\ell_{eq}$ l'allongement du ressort par rapport à la situation au repos. Dans ce cas, on a \[\overrightarrow{T}=-kx\,\overrightarrow{u_x}\] La seconde loi de Newton donne $m \mathrm{d}^{2}x/ \mathrm{d} t^{2}=-kx$ d'où l'équation différentielle

\begin{equation} \ddot{x}+\omega_{0}^{2}x=0 \quad\text{avec}\quad \omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}} \quad[\mathrm{rad.s^{-1}}] \label{eq:C6odeharmonique} \end{equation}

Il s'agit de l'équation caractéristique d'un oscillateur harmonique.

Propriétés

Avant de trouver les solutions de cette équation différentielle, il est intéressant d'en dégager quelques propriétés :

Solution

Oscillations Harmoniques
Oscillations harmoniques.

La solution de l'équation différentielle \eqref{eq:C6odeharmonique} s'écrit \[ x(t)=A\cos\left(\omega_{0}t+\varphi\right) \] Avec $A$ et $\varphi$, deux constantes d'intégration que l'on obtient grâce à deux conditions initiales. Comme l'illustre la figure ci-contre, le système se met à osciller (si on l'écarte de sa position d'équilibre $x=0$) avec une amplitude $A$ et à une fréquence, dite \emph{fréquence propre}

fréquence propre

\begin{equation} \nu_{0}=\frac{\omega_{0}}{2\pi}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \label{eq:frequence_propre} \end{equation}
On notera que la fréquence propre dépend des caractéristiques du pendule élastique ($k$ et $m$) mais non de l'amplitude des oscillations : on parle d'isochronisme des oscillations.

Exercice

Un conducteur de masse $m=80\;\mathrm{kg}$ monte dans sa voiture vide ; les amortisseurs s'enfoncent alors de 4 cm. La masse de tout ce qui se trouve sur les ressorts est alors de 1000 kg. Dans l'approximation harmonique, le système {voiture-conducteur} se comporte comme un oscillateur. Donnez sa fréquence propre.

Lorsque le conducteur s'installe dans la voiture, son poids produit une contraction des ressorts qui doivent exercer une tension supplémentaire pour compenser ce poids. Cette tension supplémentaire s'exprime par $4k\Delta x$ où $k$ désigne la constante de raideur d'un amortisseur et $\Delta x$ la contraction des ressorts. À l'équilibre, on a \[mg=4k\Delta x \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{mg}{4\Delta x}=4900\;\mathrm{N.m^{-1}} \] La fréquence propre du système masse-ressort vaut $f_{0}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{4k}{M}}$ avec $M$ la masse totale. On trouve environ 0,7 Hz.

Aspects énergétiques

Du point de vue énergétique, cet oscillateur transforme l'énergie élastique en énergie cinétique et vice versa. L 'énergie potentielle élastique vaut \[ \mathcal{E}_\text{p}=\frac{1}{2}kx^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\cos^{2}\left(\omega_{0}t+\varphi\right) \] alors que l'énergie cinétique s'écrit \[ \mathcal{E}_\text{c}=\frac{1}{2}m\dot{x}^{2}=\frac{1}{2}kA^{2}\sin^{2}\left(\omega_{0}t+\varphi\right) \] On vérifie que l'énergie mécanique du pendule élastique $\mathcal{E}_\text{m}=\mathcal{E}_\text{c}+\mathcal{E}_\text{p}=\frac{1}{2}kA^{2}$ reste constante puisque les forces qui travaillent sont conservatives.

À retenir

L'énergie mécanique d'un oscillateur harmonique est proportionnelle au carré de l'amplitude.

Pendule élastique amorti

En réalité, la présence des frottements dissipe l'énergie initialement fournie à l'oscillateur. On assiste alors à un phénomène d'amortissement qui se caractérise,

  1. soit par une diminution de l'amplitude des oscillations au cours du temps ;
  2. soit par un retour à l'équilibre sans oscillation.

La modélisation des forces de frottement est plus ou moins complexe :

Nous nous contenterons ici de traiter le pendule élastique en présence de frottements visqueux modélisés par $f=-\alpha\dot{x}$ où $\alpha$ désigne le coefficient de frottement. L'équation du mouvement s'écrit \[m\ddot{x}+\alpha\dot{x}+kx=0\] et, si l'on pose \[\omega_{0} =\sqrt{\frac{k}{m}}\; \mathrm{[rad.s^{-1}]} \qquad\text{et}\qquad \tau =\frac{m}{\alpha}\;\mathrm{[s]}\] elle devient \begin{equation} \ddot{x}+\frac{\dot{x}}{\tau}+\omega_{0}^{2}x=0\label{eq:C6OscillateurAmorti} \end{equation} C'est l'équation caractéristique d'un oscillateur harmonique linéairement amorti. Par rapport à l'oscillateur harmonique on note la présence d'un terme supplémentaire ($\dot{x}/\tau$) que l'on appelle terme dissipatif car à l'origine de la dissipation d'énergie. L'analyse dimensionnelle de l'équation montre que le paramètre $\tau$ est homogène à un temps. Nous verrons que $\tau$ représente l'ordre de grandeur du temps d'amortissement des oscillations (quand il y en a). Enfin, avec $\tau$ et $\omega_{0}$ il est possible de former un nombre sans dimension $Q$ appelé facteur de qualité. Par définition,

Facteur de qualité

\begin{equation} Q\equiv\omega_{0}\tau \label{eq:definition_de_Q} \end{equation}

In fine, le comportement d'un oscillateur harmonique linéairement amorti est complètement décrit par la donnée de $\omega_{0}$ et $Q$ puisque l'équation différentielle s'écrit

\begin{equation} \ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q}\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0 \label{eq:C6OscillateurFacteurQualite} \end{equation}

Remarque

On retrouve l'oscillateur harmonique lorsque $Q\rightarrow\infty$. Plus Q est grand donc, moins l'oscillateur est amorti.

Propriétés

Régime libre

L'équation (\ref{eq:C6OscillateurFacteurQualite}) admet des solutions de la forme $x(t)=A\,\mathrm{e}^{r\;t}$ avec $r$ solution de l'équation caractéristique \[r^{2}+\frac{\omega_{0}}{Q}r+\omega_{0}^{2}=0\] dont le discriminant s'écrit $\Delta=\omega_{0}^{2}\left(1/Q^{2}-4\right)$. Suivant le signe du discriminant, on distingue trois régimes différents.

Régime pseudo-périodique : $Q>\frac{1}{2}$

Dans ce cas, le discriminant de l'équation caractéristique est négatif et les racines sont complexes : \[r=-\frac{\omega_{0}}{2Q}\pm i\omega \qquad\text{avec}\qquad \omega=\omega_{0}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^{2}}} \] La solution réelle est donc de la forme \[x(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\omega_{0}}{2Q}t}\left[A\cos\omega t+B\sin\omega t\right] \] L'oscillateur oscille avec une amplitude qui s'amortie exponentiellement au cours du temps. Puisque l'amplitude diminue au cours du temps, on ne peut plus parler de phénomène périodique. Cependant, il est d'usage de définir la durée $T$ entre deux maxima successifs, qui est aussi la période de $\cos(\omega t)$. Cette durée $T$ est appelée pseudo-période et vaut \[T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{T_{0}}{\sqrt{1-1/(4Q^{2})}}\] La figure ci-dessous illustre également l'évolution de l'énergie mécanique de l'oscillateur au cours du temps. La décroissance observée s'explique par la dissipation des forces de frottement et vérifie l'équation d'évolution \[\frac{\mathrm{d}\mathcal{E}_\text{m}}{\mathrm{d}t}=-\alpha \dot{x}^{2}\leq 0\]

Oscillations Amorties Q=10
Évolution de $x$ et de l'énergie mécanique au cours du temps pour un pendule élastique en régime pseudo-périodique. On a choisi une masse $m=1\;\mathrm{kg}$, une pulsation propre $\omega_{0}=1\;\mathrm{rad.s^{-1}}$ et un facteur de qualité $Q=10$. Les conditions initiales sont $x(0)=0$ et $\dot x(0)=1,5$.

Régime critique : $Q=\frac{1}{2}$

Le discriminant de l'équation caractéristique est nulle et la racine est double : $r=-\omega_{0}$. La solution s'écrit alors \[x(t)=[A+Bt]\mathrm{e}^{-\omega_{0}t}\] L'oscillateur atteint l'équilibre sans osciller (on dit qu'il n' y a pas dépassement). On peut montrer que le retour à l'équilibre est ici le plus rapide sans dépassement Si l'on souhaite que le système atteigne l'état d'équilibre le plus vite possible en limitant le dépassement à ±5% A par exemple, il faut se placer en régime pseudo-périodique avec un facteur de qualité Q=0,35..

Oscillations critiques
Évolution de $x$ et de l'énergie mécanique au cours du temps pour un pendule élastique en régime critique. On a choisi une masse $m=1\;\mathrm{kg}$ et une pulsation propre $\omega_{0}=1\;\mathrm{rad.s^{-1}}$. Les conditions initiales sont identiques.

Régime apériodique : $Q≤\frac{1}{2}$

Le discriminant de l'équation caractéristique est positif et les solutions sont réelles : \[r=-\frac{\omega_{0}}{2Q}\pm \Omega \qquad\text{avec}\qquad \Omega=\omega_{0}\sqrt{\frac{1}{4Q^{2}}-1} \] La solution est donc \[x(t)=\mathrm{e}^{-\frac{\omega_{0}}{2Q}t}\left[A\,\mathrm{e}^{\Omega t}+B\,\mathrm{e}^{-\Omega t}\right]\]

Oscillations Amorties Q=0,1
Évolution de $x$ et de l'énergie mécanique au cours du temps pour un pendule élastique en régime apériodique. On a choisi une masse $m=1\;\mathrm{kg}$, une pulsation propre $\omega_{0}=1\;\mathrm{rad.s^{-1}}$ et un facteur de qualité $Q=1/10$. Les conditions initiales sont identiques.

L'oscillateur atteint l'équilibre sans osciller et très lentement (amortissement fort).

Finalement, on retiendra les idées simples suivantes : plus l'amortissement est important et moins il y a d'oscillations. Un oscillateur perturbé, oscillera si $Q>1/2$ ce qui est assez fréquent comme le suggère la table ci-dessous.

OscillateurFacteur de qualité $Q$
circuit RLC sélectif~100
Diapason~1000
terre, lors d'un tremblement de terre~1000
corde de guitare~1000
oscillateur à quartz~104-106
atome excité~ 107

Application : la suspension automobile

Dans le domaine de l'automobile, le contrôle de la suspension et de l'amortissement détermine le confort des passagers. Par exemple, les automobiles adoptent en général des suspensions isochrones, c'est-à-dire à fréquence propre constante de la pleine charge à la charge minimum. De plus on gagne en confort en imposant une fréquence propre de l'ordre de 1 Hz ce qui correspond à la fréquence de la marche d'un être humain. Enfin, comme on vient de le voir, le facteur de qualité joue un rôle important dans la réponse d'un oscillateur en régime libre. Quand on cherche un retour à l'équilibre rapide sans oscillation on a intérêt à ce que l'amortisseur produise un facteur de qualité $Q$ proche de 1/2.

Résonances

Il est possible d'entretenir les oscillations d'un oscillateur à condition de lui fournir de l'énergie (en moyenne). Nous nous contenterons d'étudier le cas ou l'excitation est périodique et plus particulièrement sinusoïdaleLe théorème de Fourier permet de trouver la réponse d'un oscillateur linéaire à une excitation périodique quelconque..

Généralités

Reprenons comme exemple le pendule élastique. Soumettons l'autre extrémité du ressort à un déplacement sinusoïdal $a\cos (\omega t)$ de fréquence $\nu=\omega/2\pi$ connue. De plus on envisage la présence de frottements visqueux que l'on modélisera par une force $f_{x}=-\alpha\dot{x}$.

La relation fondamentale de la dynamique projetée suivant l'axe horizontal donne \[m\ddot{x}=-k(\ell-\ell_{0})-\alpha\dot{x}\] Fixons l'origine des $x$ à la position de repos du régime libre. On a donc $a\cos\omega t+\ell=\ell_{0}+x$ d'où l'équation du mouvement \[\ddot{x}+\frac{\alpha}{m}\dot{x}+\frac{k}{m}x=\frac{ka}{m}\cos(\omega t)\] équation de la forme :

\begin{equation} \begin{array}{ccc} \underbrace{\ddot{x}+\frac{\omega_{0}}{Q}\dot{x}+\omega_{0}^{2}x} & = & \underbrace{\omega_{0}^{2}a\cos (\omega t)}\\ \text{oscillateur} & & \text{excitation}\end{array} \label{eq:C6OscillateurForce} \end{equation}
avec $\omega_{0}$ la pulsation propre et $Q$ le facteur de qualité. Il s'agit d'une équation différentielle linéaire avec un second membre sinusoïdal dont la solution se décompose en deux termes :
  1. L'un étant la solution particulière, s'exprime comme un signal sinusoïdal de pulsation $\omega$ ; c'est le régime forcé.
  2. L'autre terme, que nous désignons par régime transitoire, correspond à la solution de l'équation homogène. On a vu qu'il y a trois régimes distincts selon la valeur du facteur de qualité. Dans tous les cas réalistes, la présence de termes dissipatifs -- même faibles -- entraîne la disparition du régime transitoire (d'où son nom) au bout d'un certain temps d'autant plus court que $\tau$ est petit. Passé ce délai, seul persiste le régime sinusoïdal forcé.

Dans toute la suite, nous supposons que le régime transitoire est complètement dissipé et que seul persiste le régime forcé : \[x(t)=a_{1}\cos(\omega t)+a_{2}\sin(\omega t) \qquad\text{avec}\qquad t\gg\tau\]

Résonance d'élongation

La méthode classique qui permet d'obtenir la solution particulière consiste à remplacer $x(t)$ par $a_{1}\cos(\omega t)+a_{2}\sin(\omega t)$ dans l'équation différentielle pour en déduire les valeurs de $a_1$ et $a_2$ : \[\cos(\omega t)\left[a_1\left(\omega_0^2-\omega^2\right)+a_2\frac{\omega\omega_0}{Q}\right]+\sin(\omega t) \left[a_2\left(\omega_0^2-\omega^2\right)-a_1\frac{\omega\omega_0}{Q}\right]=\omega_0^2 a\cos(\omega t) \] d'où l'on tire deux équations \[\begin{cases} a_{1}\left(\omega_0^2-\omega^2\right)+a_2\frac{\omega\omega_0}{Q} & =\omega_0^2 a\\[3mm] a_{2}\left(\omega_0^2-\omega^2\right)-a_1\frac{\omega\omega_{0}}{Q} & =0 \end{cases}\] ce qui donne finalement \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ccc} a_1 & =& a\dfrac{1-u^{2}}{\left(1-u^{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{u}{Q}\right)^{2}}\\[3mm] a_2 & =& a\dfrac{u/Q}{\left(1-u^{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{u}{Q}\right)^{2}}\\ \end{array} \right.\quad\text{avec}\quad u=\dfrac{\omega}{\omega_{0}}=\dfrac{\nu}{\nu_{0}} \label{eq:C6a1a2} \end{equation} $u$ désigne la fréquence réduite c'est-à-dire la fréquence rapportée à l'échelle de la fréquence propre.

En général, on préfère écrire les solutions harmoniques sous la forme $A\cos(\omega t+\varphi)$. Compte tenu du fait que \[a_{1}\cos(\omega t)+a_{2}\sin(\omega t)=A\cos(\omega t+\varphi) \quad \text{avec}\quad \begin{cases} A & =\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}\\\\ \tan\varphi & =-a_{2}/a_{1} \end{cases}\] l'élongation s'écrit \[x(t)=A\cos\left(\omega t+\varphi\right) \quad\text{avec}\quad \left\{\begin{array}{ccc} A &=& \frac{a}{\sqrt{\left(1-u^{2}\right)^{2}+\left(\frac{u}{Q}\right)^{2}}} \\ \tan\varphi &=& \frac{u}{Q\left(u^{2}-1\right)} \end{array}\right.\] L'amplitude $A$, comme la phase $\varphi$, varie donc avec la fréquence de l'excitation.

Reponse Frequentielle
Réponse fréquentielle de l'amplitude d'un oscillateur vis à vis d'une excitation sinusoïdale.

La figure ci-dessus représente l'évolution de l'amplitude des oscillations en fonction de la fréquence pour différentes valeur du facteur de qualité. On constate que si le facteur de qualité est suffisamment grand, l'amplitude des oscillations passe par un maximum : c'est la résonance en élongation. On montre sans difficulté que :

Applications

L'amplification --par le facteur de qualité-- des oscillations d'élongation à la résonance peut être à l'origine d'effets néfastes comme la destruction d'habitations suite à un séisme. Elle peut aussi être recherchée pour construire des appareils sensibles à l'instar des sismographes.

Par ailleurs, la réponse en fréquence d'un oscillateur permet d'accéder à la raideur de l'oscillateur et donc à la force de la liaison. Par exemple, la réponse fréquentielle d'une molécule vis-à-vis d'une onde électromagnétique permet de remonter aux caractéristiques de la liaison chimique. Cette technique d'analyse chimique s'appelle spectrométrie Infra Rouge.

Résonance de vitesse

On s'intéresse maintenant à la vitesse du pendule élastique. Sachant que \[ x(t)=\frac{a}{\sqrt{\left(1-u^{2}\right)^{2}+\left(\frac{u}{Q}\right)^{2}}}\cos\left(\omega t+\varphi\right) \quad\text{avec}\quad u=\frac{\omega}{\omega_0} \] on obtient la vitesse $v(t)$ par dérivation temporelle \[ v(t)=\dot{x}(t)=\frac{a\omega}{\sqrt{\left(1-u^{2}\right)^{2}+\left(\frac{u}{Q}\right)^{2}}} \cos\left(\omega t+\varphi+\pi/2\right) \] La vitesse est en quadrature de phase avec le déplacement. L'amplitude de la vitesse s'écrit : \[ V=A\omega=\frac{a\omega}{\sqrt{\left(1-u^{2}\right)^{2}+\left(\frac{u}{Q}\right)^{2}}}= \frac{a\,Q\omega_{0}}{\sqrt{1+\left[Q\left(\frac{1}{u}-u\right)\right]^{2}}} \]

Reponse Frequentielle Vitesse
Évolution de l'amplitude de la vitesse en fonction de la fréquence pour différentes valeur du facteur de qualité.

Comme on peut le voir sur la figure ci-dessus, l'amplitude de la vitesse passe par un maximum : c'est la résonance en vitesse. Ce phénomène se produit à la fréquence $\nu=\nu_{0}$ quelle que soit la valeur de $Q$. La bande passante $\Delta \nu$ est définie par l'intervalle de fréquence tel que $V\geq\frac{V_{\rm max}}{\sqrt{2}}$. On montre que la bande passante est reliée simplement au facteur de qualité par la relation

\begin{equation} \frac{\nu_{0}}{\Delta \nu}=Q \label{eq:bande_passante} \end{equation}

La résonance est donc d'autant plus aigüe que $Q$ est grand ce qui explique pourquoi le facteur $Q$ est aussi appelé facteur d'acuité de la résonance.

Remarque

Nous avons vu que le facteur de qualité était lié au temps de relaxation $\tau$ par la relation $Q=\omega_{0}\tau$. La relation précédente entre bande passante et facteur de qualité permet de relier temps de relaxation et bande passante : \[\Delta \nu=\frac{1}{2\pi\tau}\] Autrement dit, un oscillateur qui possède une réponse fréquentielle très sélective est aussi un oscillateur qui possède un grand temps de réponse : sélectivité et inertie vont de paire.

Aspects énergétiques

Pour entretenir les oscillations d'un oscillateur harmonique il faut fournir de l'énergie en moyenne comme nous allons le montrer et ceci, d'autant plus que les frottements son importants.

Reprenons l'étude du pendule élastique mis en mouvement par une excitation harmonique de son extrémité E : $x_{\rm E}=a\cos\omega t$. Au niveau de l'extrémité E, deux forces agissent :

  1. la tension élastique $\overrightarrow{T'}=-\overrightarrow{T}=kx(t) \overrightarrow{u_x}$ ;
  2. la force qu'exerce l'opérateur pour entretenir le forçage sinusoïdal : $\overrightarrow{f}_{\!\!\text{op}}$.

Le point E étant sans masse, on a $\overrightarrow{f}_{\!\!\textrm{op}}+\overrightarrow{T'}=\overrightarrow{0}$ ce qui donne $\overrightarrow{f}_{\!\!\textrm{op}}=-kx(t)\overrightarrow{u_x}$. La puissance fournie par l'opérateur vaut alors \[ \mathcal{P}_{\textrm{op}}=\overrightarrow{f}_{\!\!\textrm{op}}\cdot\overrightarrow{v}_{\!\!\textrm{E}}= k\,a\,\omega\,x(t)\sin\omega t \] Par ailleurs, en régime sinusoïdal forcé on a $x(t)=a_{1}\cos\omega t+a_{2}\sin\omega t$, d'où \[\mathcal{P}_{\textrm{op}}=k\,a\,\omega\left(a_{1}\sin\omega t\cos\omega t+a_{2}\sin^{2}\omega t\right)\] La puissance fournie oscille à la pulsation $2\omega$ autour d'une valeur moyenne $\left\langle\mathcal{P}_{\rm op}\right\rangle$. Sachant que $\langle\sin\omega t\cos\omega t\rangle=0$ et $\langle\sin^{2}\omega t\rangle=1/2$, on trouve \[\left\langle\mathcal{P}_{\textrm{op}}\right\rangle=\frac{ka\omega}{2}a_{2} > 0 \qquad\text{car}\qquad a_2>0\] Ainsi, en moyenne, l'opérateur doit fournir de l'énergie à l'oscillateur pour entretenir les oscillations. Notons également que la puissance moyenne $\langle\mathcal{P}_{\textrm{op}}\rangle$ est proportionnelle à $a_{2}$ qui représente l'amplitude des oscillations en quadrature de phase avec l'excitation.

Poursuivons notre calcul en remplaçant $a_{2}$ par son expression \eqref{eq:C6a1a2} : \begin{eqnarray*} \left\langle\mathcal{P}_{\textrm{op}}\right\rangle & =& \frac{ka^{2}}{2}\frac{\omega u/Q}{\left(1-u^{2}\right)^{2}+(u/Q)^2}\\ & =& \frac{ka^{2}\omega_{0}Q}{2}\frac{\left(u/Q\right)^{2}}{\left(1-u^{2}\right)^{2}+(u/Q)^2}\\ & =& \frac{ka^{2}\omega_{0}Q}{2}\frac{1}{1+\left[Q(1/u-u)\right]^{2}}\\ \langle\mathcal{P}_{\textrm{op}}\rangle & =& \frac{k}{2\omega_{0}Q}V^{2} \end{eqnarray*} La puissance fournie est proportionnelle au carré de l'amplitude de vitesse. Le facteur de qualité étant lié au coefficient de frottement $\alpha$ par la relation $\omega_{0}/Q=\alpha/m$, on peut réécrire la puissance $\langle\mathcal{P}_{\textrm{op}}\rangle$ : \begin{equation} \langle\mathcal{P}_{\textrm{op}}\rangle=\frac{\alpha}{2}V^{2}\label{eq:C6PuissanceFournie} \end{equation} Expression dans laquelle, le deuxième terme n'est rien d'autre que la puissance dissipée par les forces de frottement ($\langle\mathcal{P}_{\textrm{diss}}\rangle=-\frac{\alpha}{2}V^{2}$). On obtient donc la relation $\langle\mathcal{P}_{\textrm{op}}\rangle+\langle\mathcal{P}_{\textrm{diss}}\rangle=0$ qui traduit le fait, qu'en moyenne, l'opérateur doit fournir de l'énergie pour compenser la dissipation d'énergie par les frottements.

La relation \eqref{eq:C6PuissanceFournie} montre également que la puissance fournie obéit à un phénomène de résonance lorsque la fréquence excitatrice vaut $\nu_{0}$. L'oscillateur absorbe alors une puissance maximum \[ \langle\mathcal{P}_{\textrm{op}}\rangle_{\textrm{max}}=\frac{\alpha}{2}V^{2}_{\textrm{max}}=\frac{1}{2}Q\,m\,a\,\omega_{0}^{3} \]

Il est intéressant de calculer l'énergie moyenne stockée par l'oscillateur et de la comparer à l'énergie dissipée sur une période. À la résonance, ces deux énergies sont directement liées au facteur de qualité $Q$. En effet, lorsque $\omega=\omega_{0}$, l'amplitude des oscillations vaut $A=Qa$ et celle de la vitesse $V=A\omega_{0}$ de sorte que l'énergie dissipée sur une période s'écrit \begin{eqnarray*} \mathcal{E}_\text{diss} &=& \langle\mathcal{P}_{\textrm{op}}\rangle\frac{2\pi}{\omega_{0}}\\ &=&\frac{1}{2}\alpha V^{2}\frac{2\pi}{\omega_{0}}\\ \mathcal{E}_\text{diss} &=& \pi\alpha A^{2}\omega_{0} \end{eqnarray*} alors que l'énergie mécanique stockée sous forme d'énergie cinétique et potentielle vaut, en moyenne, \[\left\langle \mathcal{E}_\text{m}\right\rangle=\frac{1}{2}kA^{2}\] Le rapport des ces deux énergies donne (en utilisant $\omega_{0}/Q=\alpha/m$ et $\omega_{0}^{2}=k/m$)

\begin{equation} \frac{\langle \mathcal{E}_\text{m}\rangle}{\mathcal{E}_\text{diss}}=\frac{Q}{2\pi} \label{eq:definition_energetique_de_Q} \end{equation}

Plus $Q$ est grand et plus la part d'énergie stockée sous forme cinétique et potentielle est grande devant l'énergie dissipée par période. On peut alors donner une interprétation énergétique du facteur de qualité :

Facteur de qualité

Le facteur de qualité $Q$ d'un système oscillant est $2\pi$ fois l'énergie moyenne emmagasinée dans le système divisée par l'énergie dissipée par cycle.

Effets anharmoniques

Approximation harmonique

Considérons un système mécanique conservatif à un degré de liberté $x$ dans une situation d'équilibre stable. L'énergie potentielle présente donc un puits de potentiel centré sur la position d'équilibre. L'énergie mécanique s'écrit \begin{equation} \frac{1}{2}\mu\dot{x}^2+\mathcal{E}_\text{p}(x)=\mathcal{E}_\text{m}\label{C6:SystemeConservatifUnidimensionnel} \end{equation} où $\mu$ est un scalaire positif représentant l'inertie.

Approximation Harmonique
Le puits de potentiel est approché, au voisinage du minimum, par une parabole.

L'approximation harmonique est en général la première modélisation choisie quand on veut décrire simplement les oscillations. Elle est utilisée pour décrire les vibrations moléculaires, les vibrations d'un cristal etc. Elle consiste à approcher le puits de potentiel (de courbure non nulle) par la parabole osculatrice. En effet, au voisinage d'un équilibre stable, un développement de l'énergie potentielle à l'ordre deux, donne \[\mathcal{E}_\text{p}\simeq \mathcal{E}_\text{p}(x_{\textrm{eq}})+\frac{1}{2}\kappa(x-x_{\textrm{eq}})^{2} \quad\text{avec}\quad \kappa=\frac{\mathrm{d}^{2}\mathcal{E}_\text{p}}{\mathrm{d} x^{2}}(x_{\textrm{eq}})>0 \] En traduisant la conservation de l'énergie mécanique par $\mathrm{d}\mathcal{E}_\text{m}/\mathrm{d}t=0$, on obtient \[\mu\ddot{x}+\kappa\left(x-x_{\textrm{eq}}\right)=0\] Si l'on désigne par $X=x-x_{\textrm{eq}}$ l'écart à l'équilibre, on obtient l'équation différentielle \[\ddot{X}+\frac{\kappa}{\mu}X=0\] caractéristique d'un oscillateur harmonique oscillant à la pulsation propre

\begin{equation} \omega_{0}=\sqrt{\frac{\kappa}{\mu}} \label{eq:pulsation_propre_d_un_systeme_harmonique} \end{equation}

Ainsi, pour de petites élongations autour de l'équilibre, un puits de potentiel présentant un courbure $\kappa$ positive, donnera lieu à un comportement d'oscillateur harmonique.

Remarque

Si $\kappa< 0$, les solutions sont divergentes ($Ae^{rt}$ avec $r>0$) ce qui correspond à une position d'équilibre instable. On retrouve donc l'idée qu'un état d'équilibre instable est associé à un profil d'énergie potentiel présentant un maximum local.

Exemple : le pendule rigide

Considérons un pendule simple rigide de masse $m$ et de longueur $\ell$ astreint à évoluer dans un plan vertical. Il s'agit d'un système à un degré de liberté ($\theta$ désigne l'écart angulaire) d'énergie potentielle de pesanteur \[\mathcal{E}_\text{p}=-mg\ell\cos\theta\] présentant un puits de potentiel symétrique et centré en $\theta=0$.

Approximation Harmonique Pendule

Si l'on communique au pendule une énergie faible, celui-ci développera un régime d'oscillations quasi-harmoniques puisque l'on peut approcher le puits de potentiel par une parabole ($\cos\theta\simeq 1-\theta^{2}/2$) : \[\mathcal{E}_\text{p}\simeq\frac{1}{2}mgl\theta^{2}+\mathrm{C^{te}} \quad\Longrightarrow\quad \kappa=mg\ell\] Alors que l'énergie cinétique s'écrit \[\mathcal{E}_\text{c}=\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}m\ell^{2}\dot{\theta}^{2}\quad\Longrightarrow\quad \mu=m\ell^{2}\] Ainsi, au voisinage de $\theta=0$ , on a \[\ddot{\theta}+\frac{\kappa}{\mu}\theta=0\] l'angle oscille de façon harmonique à la pulsation propre \[\omega_{0}=\sqrt{\frac{\kappa}{\mu}}=\sqrt{\frac{g}{\ell}}\] valeur indépendante de la masse et de l'amplitude des oscillations. Cette dernière propriété n'est valable que dans l'approximation harmonique, c'est-à-dire pour les petits angles.

Anharmonicités

Comme nous venons de le voir, l'approximation harmonique constitue souvent la première approche lorsque l'on étudie les petits oscillations autour d'un équilibre stable. En revanche, pour les grandes amplitudes on sort du domaine de validité de cette approximation ce qui se traduit par l'apparition dans l'équation différentielle de termes supplémentaires non linéaires dit termes anharmoniques.

De manière générale, de tels oscillateurs peuvent se décrire par l'équation différentielle suivante : \begin{equation} \ddot{x}+\frac{\dot{x}}{\tau}+f(x)=0 \quad \text{avec}\quad f(x)\xrightarrow[x \to 0]{}0 \label{eq:C6OscillateurAnharmonique} \end{equation} où $x$ représente l'écart à la position d'équilibre et le terme $\dot{x}/\tau$ modélise l'amortissement. Cette équation peut s'interpréter comme l'équation du mouvement d'un point matériel de masse unité et de coordonnée $x$, dans un puits de potentiel \[\mathcal{E}_\text{p}(x)=\int_0^x f(x')\, \mathrm{d}x'\] La stabilité de l'oscillateur est garantie si $\mathcal{E}_\text{p}(x)$ présente un minimum en $x=0$.

Cas du pendule simple

Anaharmonicite Pendule

Le pendule simple, comme nous l'avons vu, est régi par une équation différentielle du type \eqref{eq:C6OscillateurAnharmonique} avec $f(x)=\sin x$. Le puits de potentiel a tendance à s'évaser par rapport au puits parabolique associé à l'approximation harmonique ce qui signifie que les oscillations ralentiront par rapport à des oscillations harmoniques. En d'autres termes, la période des oscillations, contrairement au cas de l'oscillateur harmonique, augmente avec l'amplitude $\theta_{\textrm{max}}$ des oscillations. C'est ce qu'illustre la figure ci-contre en traçant l'évolution de la période $T$ en unité de $T_{0}$ (période dans l'approximation harmonique) en fonction de l'amplitude des oscillations $\theta_{\textrm{max}}$.

Cas de la liaison moléculaire

Potentiel De Morse
Potentiel de Morse.

Considérons une molécule diatomique comme H$_{2}$, O$_{2}$, CO, etc. Bien que la stabilité d'un tel édifice relève de la mécanique quantique, il est souvent plus simple, moyennant quelques approximations, de décrire la liaison de façon phénoménologique. Philip Morse a proposé une énergie potentielle qui décrit de façon satisfaisante la structure vibrationnelle d'une molécule diatomique. Dans ce modèle, les deux atomes interagissent via une énergie potentielle d'interaction, dit potentiel de Morse, de la forme \[\mathcal{E}_\text{p}=E_{0}\left(\mathrm{e}^{-2ax}-2\mathrm{e}^{-ax}\right)\] où $x$ désigne l'écart à l'équilibre et $E_{0}$ l'énergie de dissociation de la molécule. Le profil de ce potentiel, représenté sur la figure ci-contre montre clairement une dissymétrie.

Lorsque l'on développe $\mathcal{E}_\text{p}(x)$ au voisinage de 0, on trouve \[\mathcal{E}_\text{p}\simeq-E_{0}+\frac{1}{2}\kappa x^{2}-\epsilon x^{3} \quad\text{avec}\quad \kappa=2E_{0}a^{2} \quad\text{et}\quad \epsilon=\kappa a/2 \] ce qui donne une équation du mouvement du type (l'énergie cinétique s'écrit $\mathcal{E}_\text{c}=\frac{1}{2}\mu\dot{x}^{2}$ avec $\mu$ la masse réduite du système diatomique). \[\ddot{x}+\omega_{0}^{2}x-\beta x^{2}=0 \quad\text{avec}\quad \omega_{0}=\sqrt{\kappa/\mu} \quad\text{et}\quad \beta=\frac32 a\omega_{0}^{2}\] En conséquence, les oscillations ne sont plus symétriques autour de $x=0$ et la moyenne temporelle $\langle x(t) \rangle$ varie avec l'énergie de l'oscillateur. En effet, on peut montrer à l'aide d'une méthode perturbative (Méthode des perturbations) que \[\langle x(t) \rangle=\frac{\beta x_{\textrm{max}}^{2}}{2\omega_{0}^{2}}=\frac{3a}{4}x_{\textrm{max}}^{2}\] En d'autres termes, la longueur de la liaison moléculaire augmente avec l'énergie emmagasinée dans la liaison (dans l'approximation harmonique, l'énergie d'un oscillateur varie comme le carré de l'amplitude). C'est ce même phénomène qui explique le phénomène de dilatation des cristaux : quand la température augmente, l'énergie de vibration atomique augmente également ce qui accroit la distance intermoléculaire par effet anharmonique.

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