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MENUCours de Mécanique classique

Le concept d'énergie

Travail d'une force

Travail

Lorsqu'une force s'exerce sur un point matériel M, c'est sa composante le long de la trajectoire qui modifie la norme de la vitesse.Pour mesurer combien une force $\overrightarrow{f}$ travaille à accélérer ou a ralentir un point matériel, on définit une grandeur, appelée travail mécanique de $\overrightarrow{f}$ et notée $W_{\rm A\to B}$ :

Travail d'une force

\begin{equation} W_{\rm A \to B} \equiv \int_{\mathcal{C}_{\rm AB}}\overrightarrow{f}\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}\ell} \label{eq:relation_travail_puissance} \end{equation}

où $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}$ désigne le vecteur déplacement infinitésimal du point M le long du trajet $\mathcal{C}_{\rm AB}$.

Le travail est donc une intégrale curviligne dont le résultat dépend, a priori, de la force et du trajet. On remarque que si la force fait un angle aigu avec le vecteur déplacement, alors $W_{\rm A \to B} >0$ : On dit que le travail est moteur. Si, au contraire, la force fait constamment un angle obtus avec le vecteur déplacement, $W_{\rm A \to B} <0$ : le travail est résistant. Enfin si la force est perpendiculaire au déplacement, alors $W_{\rm A \to B} =0$ : la force ne fait qu'incurver la trajectoire sans modifier la norme de la vitesse comme nous le verrons plus loin.

Dans le Système International d'unités, le travail s'exprime en Joule (symbole : J) en hommage à James Prescott Joule James Prescott Joule (1818-1889) : Physicien anglais qui montra l'équivalence entre le transfert thermique et le travail mécanique. Il découvrit avec William Thomson (qui deviendra plus tard Lord Kelvin) l'effet Joule-Kelvin à l'origine des systèmes frigorifiques.. Une analyse dimensionnelle donne \[[W]=\mathrm{ML^{2}T^{-2}}\qquad\Longrightarrow\qquad 1\;\mathrm{J}=1\;\mathrm{kg.m^{2}.s^{-2}}\] Notez que l'expression du travail se simplifie dans le cas d'une force uniforme : pour un trajet $\mathcal{C}_{\rm AB}$ on obtient \[W_{\rm A \to B} =\overrightarrow{f}\cdot\overrightarrow{\rm AB} \quad \text{si}\quad\overrightarrow{f}=\overrightarrow{\mathrm{C^{te}}}\]

Exemple : travail de la pesanteur

Travail Du Poids

Calculons le travail de la force de pesanteur lorsque le centre de gravité G d'un corps matériel se déplace du point A au point B. Le poids étant une force constante, on a \[W_{\rm A \to B}=\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{\rm AB}=\pm mgh \label{eq:travail_du_poids}\] où $h$ désigne la dénivellation ($h>0$). On mettra le signe + quand G descend (travail moteur) et le signe - quand G monte (travail résistant).

On remarque ici que le travail du poids ne dépend pas de la forme du trajet mais seulement de la dénivellation. Par conséquent, si le centre d'inertie revient à sa position initiale, le poids n'aura produit aucun travail, globalement. On verra que le poids appartient à l'ensemble des forces conservatives. En revanche, les forces de frottement ont la particularité de travailler en résistance et ce d'autant plus que le trajet est long.

Exemple : travail d'un frottement solide

Travail Frottement

Une lugeuse glisse sur une piste de forme quelconque et l'on suppose que la force de frottement qu'exerce la neige sur la luge est constante et vaut $T$. Calculons le travail produit par les forces de contact après avoir parcouru une distance $L$. Tout d'abord, l'action normale à la surface ne travaille pas puisqu'elle est perpendiculaire à la vitesse de glissement. Le travail des forces de contact s'identifie donc avec le travail de la force de frottement : \[W_{\rm A \to B} = \int_{\mathcal{C}_{\rm AB}}\overrightarrow{T}\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=-\int_{\mathcal{C}_{\rm AB}} T\,\mathrm{d}\ell=-T\,L\] Contrairement au poids, le travail des forces de frottement dépend de la longueur du trajet et donc de la forme du chemin parcouru.

Puissance d'une force

Pour mesurer à quel rythme une force travaille, on introduit la notion de puissance mécanique. La puissance d'une force, que nous noterons $\mathcal{P}$, est le quotient du travail fourni sur la durée lorsque cette durée tend vers 0 : \begin{equation} \mathcal{P}=\lim_{\delta t\to 0}\frac{\delta W}{\delta t}= \lim_{\delta t\to 0}\frac{\overrightarrow{f}\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}}{\delta t}= \overrightarrow{f}\cdot\overrightarrow{v} \end{equation} où $\overrightarrow{v}$ est la vitesse du point d'application de la force. La puissance est donc une grandeur instantanée. Finalement, le travail d'une force sur un trajet $\mathcal{C}_{\rm AB}$ peut se calculer à partir de la puissance :

\begin{equation} W_{\rm A \to B} =\int_{t_{\rm A}}^{t_{\rm B}}\mathcal{P}\, \mathrm{d}t \label{eq:relation_travail_puissance2} \end{equation}

où $t_{\rm A}$ et $t_{\rm B}$ sont les instants où le point M se trouve en A et B. Dans le cas particulier où la puissance est constante, on a tout simplement \[W_{\rm A \to B} =\mathcal{P}\times\Delta t\] avec $\Delta t=t_{\rm B}-t_{\rm A}$, la durée que met le point d'application à aller de A vers B.

Dans le Système International d'unités , la puissance s'exprime en Watt (symbole : W), en hommage à James Watt James Watt (1736-1819) : Ingénieur écossais qui apporta de nombreuses innovations à la machine à vapeur. On lui doit également l'unité de cheval-vapeur encore utilisée dans le domaine automobile : 1 ch=736 W. Une analyse dimensionnelle donne immédiatement \[1\;\mathrm{W}=1\;\mathrm{J.s^{-1}}\]

Théorème de l'énergie cinétique

Considérons un point matériel M de masse $m$ animé d'une vitesse $\overrightarrow{v}$ dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}$ et soumis à un ensemble de forces $\overrightarrow{f_{k}}$. La relation fondamentale de la dynamique nous donne \[m\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d} t}=\sum_{k}\overrightarrow{f_{k}}\] Multiplions par $\overrightarrow{v}$ cette expression. En remarquant que \[\frac{\mathrm{d} v^2}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v})= 2 \overrightarrow{v}\cdot\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}\] il vient \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\frac{1}{2}mv^{2}\right)=\sum_{k} \overrightarrow{f_{k}}\cdot \overrightarrow{v}\] Le terme de droite correspond à la somme des puissances mécaniques. Le terme de gauche est la dérivée de la quantité

Énergie cinétique

\begin{equation} \mathcal{E}_\text{c}(\text{M})\equiv\frac{1}{2}mv^{2} \label{eq:definition_de_Ec} \end{equation}

Une analyse dimensionnelle donne $[\mathcal{E}_\text{c}]=\mathrm{ML^{2}T^{-2}}$ ce qui correspond à la dimension d'un travail. Cette quantité qui ne dépend que du point matériel et de son mouvement est appelée énergie cinétique et s'exprime en joule. Nous avons donc obtenu une équation d'évolution de l'énergie cinétique : \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\mathcal{E}_\text{c}\right)=\sum_{k}\mathcal{P}_{k}\] Si nous intégrons cette équation sur le temps entre les instant $t_{\rm A}$ et $t_{\rm B}$ , on obtient : \[\Delta \mathcal{E}_\text{c}\equiv \mathcal{E}_\text{c}(\text{B})-\mathcal{E}_\text{c}(\text{A})=\sum_{k}W_{\rm A \to B} ^{k}\]

Théorème de l'énergie cinétique (TEC)

Dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}$, l'énergie cinétique $\mathcal{E}_\text{c}(\textrm{M})\equiv\frac{1}{2}mv^2_{\text{M}/\mathcal{R}}$ d'un point matériel M subissant les actions $\overrightarrow{f_{k}}$ vérifie la loi d'évolution : \begin{align} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\mathcal{E}_\text{c}\right)=\sum_{k}\mathcal{P}_{k} & \text{[Formulation différentielle]}\label{eq:C5TEC1}\\ &\Delta \mathcal{E}_\text{c}=\sum_{k}W_{\rm A \to B}^{k} & \text{[Formulation intégrale]}\label{eq:C5TEC2} \end{align}

Arrêtons nous un instant sur le contenu physique de ce théorème. On peut considérer que le point matériel possède --de part son mouvement-- une quantité que nous appelons énergie cinétique, laquelle évolue suite à un transfert d'énergie dirigé de l'environnement extérieur vers le point matériel. Ce transfert d'énergie s'identifie ici avec le travail des forces d'interaction de l'environnement extérieur sur le point M. Autrement-dit, l'énergie cinétique ne varie que si le point matériel reçoit de la puissance mécanique. Une conséquence immédiate est qu'un point matériel conserve son énergie cinétique si les forces qu'il subit ne travaillent pas : seule la direction de la vitesse peut changer, pas sa norme.

Exercice

Un canon tire un obus à la vitesse $\boldsymbol{v =100\;\mathrm{m.s^{-1}}}$ suivant la verticale ascendante. Le référentiel terrestre est considéré galiléen et le champ de pesanteur terrestre vaut $\boldsymbol{g=9,8\;\mathrm{m.s^{-2}}}$. Calculer l'altitude maximale $\boldsymbol{h}$ atteinte par l'obus, si l'on néglige la résistance de l'air.

Appliquons le théorème de l'énergie cinétique entre la position A d'altitude nulle et la position B d'altitude maximale pour laquelle la vitesse est nulle : \[\Delta E_{c}=W_{A\to B}(\textrm{poids}) \qquad\Longrightarrow\qquad -\frac{1}{2}mv^2=-mgh\] On en déduit l'altitude maximale $h=v^2/2g=510\;\mathrm{m}$.

Energie mécanique d'un point

Forces conservatives

Par définition, une force est dite conservative lorsqu'elle s'exprime comme le gradient d'une fonction scalaire de l'espace $\mathcal{E}_\text{p}(x,y,z)$ dite énergie potentielle d'interaction :

Force conservative

\begin{equation} \overrightarrow{f}=-\overrightarrow{\nabla}\mathcal{E}_\text{p}(x,y,z)= \left( \begin{array}{c} -\partial \mathcal{E}_\text{p}/\partial x\\ -\partial \mathcal{E}_\text{p}/\partial y\\ -\partial \mathcal{E}_\text{p}/\partial z \end{array}\right) \label{eq:definition_de_Ep} \end{equation}

On remarque immédiatement que la fonction $\mathcal{E}_\text{p}$ a bien la même dimension qu'un travail puisque $[f]=[\mathcal{E}_\text{p}]/\mathrm{L}$ ce qui explique son appellation. L'énergie potentielle $\mathcal{E}_\text{p}$ s'exprime donc en joule.

Propriétés d'une force conservative

Calculons le travail d'une force conservative $\overrightarrow{f}$ le long d'un trajet quelconque $\mathcal{C}_{\rm AB}$. En coordonnées cartésiennes, le déplacement infinitésimal s'écrit $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=\mathrm{d} x \overrightarrow{u_x}+\mathrm{d} y \overrightarrow{u_y}+\mathrm{d} z \overrightarrow{u_z}$ et donc le travail \[W_{\rm A \to B} =-\int_{\mathcal{C}_{\rm AB}}\frac{\partial \mathcal{E}_\text{p}}{\partial x}\mathrm{d}x+ \frac{\partial \mathcal{E}_\text{p}}{\partial y}\mathrm{d}y+\frac{\partial \mathcal{E}_\text{p}}{\partial z}\mathrm{d}z= -\int_{\mathcal{C}_{\rm AB}} \mathrm{d}\mathcal{E}_\text{p}=\mathcal{E}_\text{p}(\rm A)-\mathcal{E}_\text{p}(\rm B)\] Autrement dit, une force conservative produit un travail qui ne dépend pas de la forme du trajet mais uniquement de la position des points A et B. En conséquence, si le trajet se referme sur lui même, le travail est nul. La réciproque est vraie, c'est-à-dire qu'une force dont le travail dépensé est nul quel que soit le circuit fermé parcouru par le point d'application est forcément conservative. Pour résumer, \[\oint_{\mathcal{C}} \overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=0 \quad\forall\mathcal{C}\quad \Longleftrightarrow \quad \overrightarrow{f}=- \overrightarrow{\nabla}\mathcal{E}_\text{p}\] Les forces de frottement sont nécessairement non conservatives puisqu'elles s'opposent, par nature, au mouvement. En effet, \[\overrightarrow{f}=-\alpha(v) \overrightarrow{v} \qquad\Longrightarrow\qquad \oint \overrightarrow{f}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=-\int_{t_{1}}^{t_{2}}\alpha(v)v^{2} \, \mathrm{d}t\leq 0\] Une autre propriété de la force conservative est qu'elle est toujours dirigée vers les valeurs décroissantes de l'énergie potentielle. La force aura donc tendance à amener le point matériel dans la zone d'énergie potentielle minimale.

Méthodologie

Il y a deux façons d'obtenir l'énergie potentielle associée à une force $\overrightarrow{f}$ :

Par exemple cherchons l'énergie potentielle associée à la pesanteur $\overrightarrow{P}=m \overrightarrow{g}$.

1ère méthode

L'espace étant munis d'un repère cartésien d'axe O$z$ vertical ascendant, on obtient \[\overrightarrow{P}=-mg \overrightarrow{u_z} \qquad\Longrightarrow\qquad \left\{\begin{array}{ccc} 0 &=& -\frac{\partial \mathcal{E}_\text{p}}{\partial x}\\ 0 &=&-\frac{\partial \mathcal{E}_\text{p}}{\partial y} \\ -mg &=& -\frac{\partial \mathcal{E}_\text{p}}{\partial z} \end{array}\right.\] Les deux premières relations traduisent le fait que l'énergie potentielle ne dépend que de $z$. L'intégration de la dernière relation donne $\mathcal{E}_\text{p}(z)=mg\,z+\mathrm{C^{te}}$.

2ème méthode

Le «travail élémentaire» s'écrit $\delta W=\overrightarrow{P}\cdot \overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=-mg\, \mathrm{d}z=-\mathrm{d}\mathcal{E}_\text{p}$ ce qui donne immédiatement $\mathcal{E}_\text{p}(z)=mg\,z+\mathrm{C^{te}}$.

Le tableau suivant résume quelques énergies potentielles associées à quelques forces.

Caractère conservatif ou non de quelques interactions classiques.
ForceExpressionStatutÉnergie potentielle
Force de gravitation $\overrightarrow{f}=-\mathcal{G}\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\overrightarrow{u}$ Conservative $\mathcal{E}_\text{p}=-\frac{\mathcal{G}m_{1}m_{2}}{r}+\mathrm{C^{te}}$
Force électrostatique $\overrightarrow{f}=\frac{Q_{1}Q_{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \overrightarrow{u}$ Conservative $\mathcal{E}_\text{p}=\frac{Q_{1}Q_{2}}{4\pi\epsilon_{0}r}+\mathrm{C^{te}}$
Force magnétique $\overrightarrow{f}=q \overrightarrow{v}\wedge \overrightarrow{B}$ Ne travaille pas
Pesanteur uniforme $\overrightarrow{P}=m\overrightarrow{g}$ Conservative $\mathcal{E}_\text{p}=mg\,z+\mathrm{C^{te}}$
Frottements solide/solide $\overrightarrow{R}=\overrightarrow{N}+\overrightarrow{T}$ non conservative
Frottements fluide/solide $\overrightarrow{f}=-\alpha(v)\overrightarrow{v}$ non conservative
Tension élastique $\overrightarrow{T}=-k(\ell-\ell_{0})\overrightarrow{u_x}$ Conservative $\mathcal{E}_\text{p}=\frac{1}{2}k(\ell-\ell_{0})^{2}+\mathrm{C^{te}}$

Remarque

Notons que dans le cas où la force est conservative, le travail élémentaire est une différentielle totale exacte puisque $\delta W=-\mathrm{d}\mathcal{E}_\text{p}$. Dans un problème à deux dimensions par exemple, cela signifie que $\delta W=A(x,y)\mathrm{d}x+B(x,y)\mathrm{d}y$ avec $A(x,y)$ et $B(x,y)$ deux fonctions qui vérifient, en vertu du théorème de Schwartz \[\left.\frac{\partial A}{\partial y}\right|_{x}=\left.\frac{\partial B}{\partial x}\right|_{y}\] Par ailleurs, la détermination de l'énergie potentielle introduit toujours une constante scalaire. Cette constante n'a aucun sens physique puisqu'elle n'intervient pas dans les grandeurs que l'on peut mesurer (la force, le travail...). C'est pourquoi, on peut arbitrairement la poser à 0 (ce qui revient à poser une origine des énergies potentielles) ou la conserver dans les calculs sachant que les grandeurs physiques mesurables n'en dépendront pas.

Conservation de l'énergie mécanique

Lorsqu'un système dynamique est soumis à des forces conservatives et/ou des forces ne travaillant pas, on dit que le système est conservatif. Notons $\mathcal{E}_\text{p}^{k}$ l'énergie potentielle associée aux différentes forces $\overrightarrow{f_{k}}$ que subit un point matériel M et appliquons le théorème de l'énergie cinétique entre deux positions quelconques A et B de M. On obtient \[\mathcal{E}_\text{c}(B)-\mathcal{E}_\text{c}(A)=\sum_{k}W_{\rm A \to B} ^{k}=-\sum_{k}\left(\mathcal{E}_\text{p}^{k}(B)-\mathcal{E}_\text{p}^{k}(A)\right)\] d'où l'on tire \[\left[\mathcal{E}_\text{c}+\sum_{k}\mathcal{E}_\text{p}^{k}\right]_{B}=\left[\mathcal{E}_\text{c}+\sum_{k}\mathcal{E}_\text{p}^{k}\right]_{A}\]

Théorème de l'énergie mécanique

Pour tout système conservatif, la quantité, appelée énergie mécanique, somme de l'énergie cinétique et des énergies potentielles, se conserve au cours du mouvement. Cette relation est appelée intégrale première du mouvement comme toute relation de conservation ne faisant intervenir que les dérivées premières des coordonnées par rapport au temps. \begin{equation} E_{\rm m}\equiv \mathcal{E}_\text{c}+\sum_{k}\mathcal{E}_\text{p}^{k}=\text{constante} \label{eq:TEM} \end{equation}

Bien qu'en général, cette relation possède moins d'information que la RFD, elle présente l'intérêt non négligeable de relier entre elles des grandeurs scalaires ce qui évite le formalisme vectoriel. Par exemple, quand on cherche une relation entre vitesse et position, il peut être judicieux d'écrire la relation de conservation de l'énergie mécanique. Enfin, dans les systèmes conservatifs à un degré de liberté (cf. §2.4), elle fournit directement l'équation du mouvement. En dehors de ce cas particulier, il faut chercher des relations supplémentaires pour pouvoir espérer résoudre le problèmeIl existe cependant un formalisme dit formalisme lagrangien qui permet d'obtenir toutes les équations à partir d'une fonction qui a une interprétation énergétique..

Réversibilité

On notera que la relation \eqref{eq:TEM} possède la propriété d'être invariante par renversement du temps. En effet, la transformation $t'=-t$ change le signe de la vitesse mais n'affecte ni l'énergie cinétique ni les énergies potentielles. On dit que les systèmes conservatifs sont réversibles. Concrètement, cela signifie que si un point matériel M évolue sur une trajectoire $\mathcal{C}$ entre $t=0$ et $t=t_{1}$ et que l'on inverse la vitesse précisément à l'instant $t_{1}$ (ce qui revient à inverser le sens du temps), le point M évoluera en empruntant la trajectoire à l'envers pour retrouver son état initial à l'instant $t=2t_{1}$. Cette propriété est également valable pour un système conservatif de $N$ points matériels et fut à la base d'une des critiques formulées à Ludwig Boltzmann contre sa tentative d'expliquer la flèche du tempsCertains phénomènes spontanés, comme la diffusion de la chaleur, ont lieu dans un sens, jamais dans le sens contraire. à l'aide d'une théorie corpusculaire : en effet comment concilier la réversibilité des lois de la mécanique à l'œuvre à l'échelle des molécules avec l'irréversibilité de certains phénomènes observés à l'échelle macroscopiques ? Cette question est connue sous le nom de paradoxe de Loschmidt.

Lorsque l'on met en place une résolution numérique d'un problème conservatif, on fait appel à des méthodes numériques dites symplectiques, particulièrement adaptées aux systèmes conservatifs et supérieures aux méthodes classiques dans le sens où elles conduisent à une dérive de l'énergie faible aux temps longs. Une des raisons de l'inefficacité des méthodes classiques (Euler, Runge-Kutta) est leur caractère non réversible en temps. L'algorithme de Verlet fait parti de ces méthodes symplectiques (La méthode de Verlet).

Cas de non conservation de l'énergie mécanique

Lorsqu'une des forces n'est pas conservative, comme c'est le cas pour les forces de frottement, on dit que le système n'est pas conservatif. Le théorème de l'énergie cinétique donne alors \[\Delta \mathcal{E}_\text{c}=\sum_{k}W_{\rm A \to B} ^{k}+W_{\rm A \to B} ^{\rm nc}=-\sum_{k}\Delta \mathcal{E}_\text{p}^{k}+W_{A\to B}^{\rm nc}\] où $W_{A\to B}^{\rm nc}$ désigne le travail des forces non conservatives. Autrement dit, l'énergie mécanique ne se conserve pas : \[\Delta E_{\rm m}=E_{\rm m}(B)-E_{\rm m}(A)=W_{\rm A \to B}^{\rm nc}\] Dans le cas des forces de frottement, le travail est résistant puisque la force est opposée au sens du mouvement : $W_{\rm A \to B}^{\rm nc}\leq0$ et l'énergie mécanique diminue au cours du temps.

Systèmes conservatifs à un degré de liberté

Considérons un point matériel M soumis à un champ de force conservatif et dont l'état est décrit à l'aide d'un seul degré de liberté que nous noterons $x$. Supposons que la conservation de l'énergie mécanique se traduise par une relation de la forme \begin{equation} \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2+\mathcal{E}_\text{p}(x)=E_{\rm m}\label{C5:SystemeConservatifUnidimensionnel} \end{equation} où $m$ est un scalaire positif, $\mathcal{E}_\text{p}(x)$ une fonction de $x$ et $E_{\rm m}$ un scalaire. On constate que cette équation est la même que celle qui régit le mouvement d'une particule en mouvement sur un axe (O$x$) et soumis à une force axiale $f_x=-\frac{\mathrm{d} \mathcal{E}_\text{p}}{\mathrm{d} x}$ et dont l'énergie mécanique vaut $E_{\rm m}$. Profitons de cette analogie pour extraire quelques résultats qualitatifs sur le mouvement.

Positions d'équilibre

Il existe des états particuliers $x_\text{eq}$ pour lesquelles lorsque on y place M sans vitesse, il y reste indéfiniment. Ces positions d'équilibres s'obtiennent par \[f_x(x_\text{eq})=0=-\frac{\mathrm{d} \mathcal{E}_\text{p}}{\mathrm{d} x}(x_\text{eq})\] Autrement dit l'état $x=x_\text{eq}$ est un état d'équilibre si $\mathcal{E}_\text{p}$ est extremum en ce point. Un équilibre mécanique peut être stable ou instable.

Stabilité

Plaçons un point M sur une position d'équilibre et écartons le légèrement de cette position :

Dans la réalité seuls les équilibres stables sont observés du fait de l'existence de perturbations (forces perturbatrices, agitation thermique, fluctuations quantiques etc.) qu'il est impossible de supprimer complètement Il arrive que le statut de certains états d'équilibre dépende de la température. En effet, une position d'équilibre peut être stable vis à vis de petites perturbations mais instable vis à vis de perturbations plus importantes : on parle alors d'états métastables..

D'un point de vue plus formel, supposons qu'une perturbation déplace le point M de sa position d'équilibre d'une quantité arbitrairement petite $\delta x$. La force que ressent le point M peut s'approcher par le développement de Taylor \[f_x(x_\text{eq}+\delta x)\simeq f_x(x_\text{eq})+\delta x\;\frac{\mathrm{d}f_x}{\mathrm{d}x}(x_\text{eq})=-\delta x\;\frac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_\text{p}}{\mathrm{d} x^2}(x_\text{eq})\] L'équilibre est stable si \[\delta x>0\quad\Longrightarrow\quad f_x<0 \quad\text{et}\quad \delta x<0 \quad\Longrightarrow\quad f_x>0\] Il en découle la condition de stabilité :

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2\mathcal{E}_\text{p}}{\mathrm{d} x^2}(x_\text{eq})>0 \label{eq:condition_de_stabilite} \end{equation}

Par conséquent, la fonction $\mathcal{E}_\text{p}(x)$ présente un minimum au point correspondant à un équilibre stable. A l'inverse, la présence d'un maximum traduit l'existence d'un équilibre instable.

Barrière et puits de potentiel

Le profil $\mathcal{E}_\text{p}(x)$ permet d'extraire quelques informations qualitatives sur le mouvement. Tout d'abord la condition ${\dot{x}}^2\geq0$ implique que les états permis sont ceux pour lesquels \[\mathcal{E}_\text{p}(x)\leq E_{\rm m}\] Il est alors judicieux de porter sur un graphe $y_1=E_{\rm m}$ et $y_2=\mathcal{E}_\text{p}(x)$ pour déterminer les domaines permis. Plusieurs cas peuvent se produire :

La barrière de potentiel
Considérons la situation décrite sur la figure. Supposons que M se trouve initialement en $x_0>x_3$ avec une «vitesse» $\dot{x}<0$. Au cours du temps, $x$ diminue et le point M se rapproche de l'état $x_3$. Il atteint ce point avec une «vitesse» nulle d'après l'équation \eqref{C5:SystemeConservatifUnidimensionnel} et subit une force $f_x=-\mathrm{d} \mathcal{E}_\text{p}/\mathrm{d} x>0$ de sorte que le M repart dans l'autre sens. La position $x=x_3$ agit ainsi comme une barrière infranchissable.
Le puits de potentiel
Supposons maintenant la situation où $x_0$ se trouve entre $x_1$ et $x_2$. Le point M va atteindre la barrière $x_1$ puis rebrousser chemin pour rencontrer une autre barrière en $x_2$. Finalement le point va osciller entre ces deux états : on dit que le M est piégé dans un puits de potentiel.
États liés et non liés
Sur l'exemple précédent on constate que selon l'état initial, les états accessibles par M sont soit bornés ($x\in[x_1,x_2]$), soit non bornés ($x\in[x_3,\infty[$). On parle d'états liés (bornés) ou non liés (non bornés).
Puits De Potentiel

Equation horaire

La conservation de l'énergie mécanique permet de résoudre complètement les problèmes à un degré de liberté tout en évitant le formalisme vectoriel. En effet, si l'on dérive par rapport au temps l'équation~\eqref{C5:SystemeConservatifUnidimensionnel}, on trouve l'équation différentielle \[m\ddot{x}=-\frac{\mathrm{d} \mathcal{E}_\text{p}}{\mathrm{d} x}\] dont la solution est unique si les conditions initiales $x_0$ et $\dot{x}_0$ sont connues. Par ailleurs, on peut obtenir l'équation horaire $t=f(x)$ par simple intégration puisque d'après \eqref{C5:SystemeConservatifUnidimensionnel} on a \[\dot{x}=\pm\sqrt{\frac{2(E_{\rm m}-\mathcal{E}_\text{p}(x))}{m}}\] où le signe $\pm$ dépend de l'histoire du mouvement : à chaque rencontre avec une barrière de potentiel, $\dot{x}$ change de signe. Finalement, après séparation des variables on peut écrire \[t-t_0=\pm\int_{x_0}^{x(t)}\sqrt{\frac{m}{2(E_{\rm m}-\mathcal{E}_\text{p}(x'))}}\,\mathrm{d}x'\]

Exemple

Considérons un pendule simple plan rigide de longueur $\ell$ et de masse $m$, dont l'état est décrit à l'aide de l'écart angulaire $\theta$. La tension ne travaille pas et la pesanteur est une force conservative : le pendule simple est donc un système conservatif à un degré de liberté.

Puits De Potentiel Pendule

L'énergie potentielle de pesanteur s'écrit \[\mathcal{E}_\text{p}=-mg\ell\cos\theta\] Le profil de l'énergie potentielle montre une position d'équilibre stable ($\theta=0$) et une position d'équilibre instable ($\theta=\pi$). Deux cas de figures sont à envisager.

  1. L'énergie mécanique $E_{\rm m}>mg\ell$ : $\dot \theta$ conserve alors le même signe et le pendule tourne indéfiniment (mouvement révolutif).
  2. L'énergie mécanique $E_{\rm m}<mg\ell$ : Le pendule oscille entre deux valeurs symétriques $\pm\theta_{\text{max}}$, vérifiant $E_{\rm m}=\mathcal{E}_\text{p}(\theta_{\text{max}})$.

Dans tous les cas, la relation de conservation de l'énergie mécanique donne une équation différentielle non linéaire du premier ordre : \[ E_{\rm m}= \frac{1}{2}m(\ell \dot \theta)^{2}-mg\ell\cos\theta=\frac{1}{2}m(\ell \dot \theta_{0})^{2}-mg\ell\cos\theta_{0} \] avec $\dot \theta_{0}$ et $\theta_{0}$ les conditions initiales. En dérivant la relation obtenue par rapport au temps, on retrouve l'équation du mouvement auquel aboutit l'application directe de la relation fondamentale de la dynamique : \[\ddot \theta+\frac{g}{\ell}\sin\theta=0\]

Bilan d'énergie pour un système de points

Systeme De Points

Considérons maintenant un système $\mathcal{S}$ de $N$ points matériels que nous noterons M$_i$ avec $i=(1,\ldots,N)$. Ce système est le siège d'actions extérieures $\overrightarrow{f_{i}^{\rm ext}}$ et d'actions internes $\overrightarrow{f_{ji}}$ du point M$_j$ sur le point M$_i$, dans le référentiel $\mathcal{R}$ supposé galiléen.

Théorème de l'énergie cinétique

Écrivons le principe fondamental pour chaque point matériel : \[m_{i}\frac{{\mathrm{d}}\overrightarrow{v_{i}}}{\mathrm{d}t}=\overrightarrow{f_{i}^{\rm ext}}+\sum_{j\neq i}\overrightarrow{f_{ji}}\] Multiplions chaque équation par $\overrightarrow{v_{i}}$ puis sommons les : \[\sum_{i}m_{i}\overrightarrow{v_{i}}\cdot\frac{{\rm d}\overrightarrow{v_{i}}}{{\rm d}t} = \sum_{i}\overrightarrow{f_{i}^{\rm ext}}\cdot\overrightarrow{v_{i}}+\sum_{i,j\neq i}\overrightarrow{f_{ji}}\cdot\overrightarrow{v_{i}}\] Le terme de gauche s'identifie avec la variation temporelle de l'énergie cinétique du système \[\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})\equiv\sum\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{2}\label{eq:definition_de_Ec_S}\] On reconnaît à droite, les puissances des forces extérieures et des forces internes. On retiendra le théorème suivant :

Théorème de l'énergie cinétique pour un système de points

Dans un référentiel galiléen $\mathcal{R}$, l'énergie cinétique d'un système de points matériels M$_{i}$ vaut, par définition \[\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})\equiv \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m \overrightarrow{v_i}^{2}\] avec $\overrightarrow{v_{i}}=\overrightarrow{v}_{\!\text{M}_{i}/\mathcal{R}}$. Elle suit la loi d'évolution : \begin{align} &\frac{\text{d}}{\text{d}t}\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})=\mathcal{P}^{\rm ext}+\mathcal{P}^{\rm int} & \text{[Formulation différentielle]}\label{eq:C5TEC3}\\[3mm] &\Delta \mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})=W^\text{ext}+W^\text{int} & \text{[Formulation intégrale]}\label{eq:C5TEC4} \end{align} avec \[\begin{array}{rcl} W^\text{ext} &= &\int\mathcal{P}^{\rm ext}\,\mathrm{d}t=\sum_{i}\int\overrightarrow{f_{i}^{\rm ext}}\cdot\overrightarrow{v_{i}}\,\mathrm{d}t\\[3mm] W^\text{int} &= & =\int\mathcal{P}^{\rm int}\, \mathrm{d}t = \sum_{i,j\neq i}\int \overrightarrow{f_{ji}}\cdot\overrightarrow{v_{i}}\, \mathrm{d}t \end{array}\]

Ainsi les forces internes jouent un rôle dans le bilan d'énergie bien qu'elles se compensent deux à deux et, de ce fait, n'aient pas d'effet sur le mouvement du centre d'inertie (cf. théorème du centre d'inertie). L'énergie cinétique d'un système de points varie d'une part suite à un transfert de travail d'origine externe et d'autre part suite à un transfert de travail interne.

Théorème de Kœnig

Dans le théorème de l'énergie cinétique nous avons distingué l'influence des actions externes et internes ce qui nous a amené à définir deux termes de transfert. On peut poursuivre cette démarche dans l'expression de l'énergie cinétique. Cherchant à découpler le mouvement d'ensemble du mouvement interne, nous définissons le référentiel lié au centre d'inertie G, dit référentiel barycentrique et noté $\mathcal{R}^{*}$. Appelons $\overrightarrow{v_{\rm G}}$ la vitesse du centre d'inertie et $\overrightarrow{v_{i}}^{*}=\overrightarrow{v}_{\!\text{M}_{i}/\mathcal{R}^{*}}$ la vitesse de M$_i$ dans le référentiel barycentrique. La loi de composition du mouvement donne \[\overrightarrow{v_{i}}^{*}=\overrightarrow{v_{i}}-\overrightarrow{v_{\rm G}}\] L'énergie cinétique du système matériel $\mathcal{S}$ peut s'écrire : \[\mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S}) = \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_{i}\overrightarrow{v}_{i}^{2} = \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_{i}v_{\rm G}^{2}+\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2}m_{i}v_{i}^{*2}+ \left(\sum_{i=1}^{N}m_{i}\overrightarrow{v_{i}^{*}}\right) \cdot \overrightarrow{v_{\rm G}}\] Or, on a montré que la quantité de mouvement du système correspondait à celle d'un point matériel de masse $m=\sum m_{i}$ situé en G : \[\sum_{i=1}^{N}m_{i}\overrightarrow{v_{i}}=m\overrightarrow{v_{\rm G}} \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{N}m_{i}\overrightarrow{v_{i}^{*}}=\overrightarrow{0}\] Finalement, si l'on pose $\mathcal{E}_\text{c}^{*}$ l'énergie cinétique barycentrique, on trouve :

Théorème de Kœnig

\begin{equation} \mathcal{E}_\text{c}(\mathcal{S})=\frac{1}{2}m v_{G}^{2}+\mathcal{E}_\text{c}^{*} \label{eq:theoreme_de_koenig} \end{equation}

Cela constitue le théorème de Kœnig relatif à l'énergie cinétique. Ce théorème exprime simplement que l'énergie cinétique d'un système possède une contribution collective (mouvement d'ensemble) et une contribution interne. Le théorème de l'énergie cinétique se reformule donc de la façon suivante :

\begin{equation} \Delta \mathcal{E}_\text{c}^{*}+\Delta(\frac{1}{2}mv_{G}^{2})=W^\text{ext}+W^\text{int} \label{eq:theoreme_de_l_energie_cinetique2} \end{equation}

Exemple : Le système isolé

En l'absence de forces extérieures, on dit que le système est isolé. Dans ce cas $W^\text{ext}=0$ et, selon le théorème du centre d'inertie, le vecteur vitesse du centre d'inertie est nécessairement constant. Le théorème de l'énergie cinétique prend alors la forme : \[\Delta \mathcal{E}_\text{c}^{*}=W^\text{int}\] Relation qui exprime le fait qu'un système isolé peut voir son énergie cinétique varier du fait des actions internes. Par exemple, lorsque l'on fait tourner un œuf frais comme une toupie, sa rotation est très vite ralentie contrairement au cas de l'œuf dur ; cela constitue d'ailleurs un test expérimental pour distinguer un œuf frais d'un œuf dur. Dans le cas de l'œuf frais, le liquide intérieur est mis en mouvement par les forces de frottement visqueux qui de part leur travail résistant, dissipent l'énergie cinétique, alors que dans le cas de l'œuf dur, la rotation est solide : toutes les parties de l'œuf tournent à la même vitesse angulaire et les forces internes ne travaillent pas Il faut ajouter cependant que le contact entre l'œuf dur et le support n'étant pas absolument ponctuel, il existe un frottement de contact qui produit un travail extérieur résistant responsable du ralentissement qui finit tôt ou tard par arrêter l'œuf..

Conservation de l'énergie

Allons plus loin en faisant l'hypothèse que les forces internes sont conservatives. Exprimons le travail des forces internes $W^\text{int}$ : \[W^\text{int}=\sum_{i,j\neq i}\int_{t_{\rm A}}^{t_{\rm B}}\overrightarrow{f_{ji}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{r_{i}} =\frac{1}{2} \sum_{i,j\neq i} \left(\int_{t_{\rm A}}^{t_{\rm B}} \overrightarrow{f_{ji}} \cdot \mathrm{d} \overrightarrow{r_{i}}+\int_{t_{\rm A}}^{t_{\rm B}} \overrightarrow{f_{ij}}\cdot \mathrm{d} \overrightarrow{r_{j}} \right)\] Or, en vertu de la troisième loi de Newton, les actions réciproques sont opposées et coaxiales de telle sorte que \[W^\text{int}=\frac{1}{2} \sum_{i,j\neq i}\int_{t_{\rm{A}}}^{t_{\rm B}} \overrightarrow{f_{ji}}\cdot \mathrm{d} \overrightarrow{r_{ji}}= \int_{t_{\rm A}}^{t_{\rm B}}\frac{1}{2} \sum_{i,j\neq i} f_{ji} \,\mathrm{d} r_{ji}\] où $\overrightarrow{r_{ji}}=\overrightarrow{r_i}-\overrightarrow{r_j}$ représente le rayon vecteur dirigé du point M$_j$ vers M$_i$. On constate alors que les forces internes ne travaillent que si les différentes parties voient leur distances mutuelles varier, c'est-à-dire si le système se déforme.

Exercice

Ecrire le théorème de l'énergie cinétique pour un solide parfait (système indéformable).

Un solide parfait étant indéformable, les forces internes ne travaillent pas d'où $W^\text{int}=0$. Finalement le théorème de l'énergie cinétique s'écrit \begin{equation} \Delta\left(\frac{1}{2}mv_{G}^{2}+\mathcal{E}_\text{c}^{*}\right)=W^\text{ext}\label{eq:C5SolideParfait} \end{equation}

Dans le cas d'un système déformable, le calcul du travail des forces internes nécessite de connaître la loi de force. Traitons le cas particulier important où la force inter-particulaire ne dépend que de $r_{ij}$ (on peut inclure les forces qui ne produisent aucun travail telles que les forces magnétiques). Dans ce cas, l'énergie potentielle d'interaction $E_{\mathrm{p},ij}$ est telle que \[f_{ji}\;\mathrm{d} r_{ji}=-\mathrm{d} E_{\textrm{p},ij} \] Ainsi, le travail des actions internes s'écrit \[W^\text{int}=-\frac{1}{2}\sum_{i,j\neq i} \int_{t_{\rm A}}^{t_{\rm B}}\mathrm{d} E_{\textrm{p},ij}=-\Delta \mathcal{E}_\text{p}^{\rm int}\] avec $\mathcal{E}_\text{p}^{\rm int}$ l'énergie potentielle d'interaction du système définie par

\begin{equation} \mathcal{E}_\text{p}^{\rm int}=\frac{1}{2}\sum_{i,j\neq i}E_{\textrm{p}, ij} \label{eq:energie_potentielle_d'interaction_interne} \end{equation}

Exemples

Finalement le théorème de l'énergie cinétique se met sous la forme générale suivante

\begin{equation} \Delta\left(\frac{1}{2}mv_{G}^{2}+\mathcal{E}_\text{c}^{*}+\mathcal{E}_\text{p}^{\rm int}\right)=W^\text{ext} \label{eq:C5BilanNRJ} \end{equation}

En conclusion, il existe une fonction $\mathcal{E}$ dite énergie du système, somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle interne, qui a la propriété de se conserver lorsque le système est isolé : \[ \Delta \mathcal{E}=0 \quad\text{si}\quad W^\text{ext}=0 \] Cette loi de conservation est valable pour tout système de particules soumises aux interactions fondamentales (électromagnétique, gravitationnelle, forte et faible) et par extension à tout système macroscopique. Lorsque le système n'est pas isolé, son énergie augmente de $W^\text{ext}$ qui peut donc s'interpréter comme un transfert d'énergie de l'extérieur vers le système.

Lien avec la thermodynamique

Le bilan d'énergie \eqref{eq:C5BilanNRJ} est souvent inutilisable pour un système macroscopique quelconque, notamment parce qu'il n'est pas toujours possible d'expliciter la travail échangé en terme macroscopique. C'est pourquoi, la thermodynamique a cherché à rendre ce bilan d'énergie opératoire en postulant un principe qui ne trouvera une justification qu'après la naissance de la physique statistique. L'approche de la thermodynamique repose sur l'idée qu'il est possible de découpler l'échelle microscopique --échelle siège de fluctuations chaotiques -- de l'échelle macroscopique. D'une part on définit l'énergie interne $U$ comme étant la partie de l'énergie mécanique qui décrit les interactions et les mouvements internes :

\begin{equation} U\equiv \mathcal{E}_\text{c}^{*}+\mathcal{E}_\text{p}^{\rm int} \label{eq:definition_de_l_energie_interne} \end{equation}

D'autre part, on considère que la travail $W^\text{ext}$ réunit deux modes de transfert d'énergie opérant à des échelles d'espace et de temps différentes:

  1. Le transfert de travail macroscopique que nous notons $W$ : Il s'agit du transfert de travail associé à des modes macroscopiques de mouvement. Ce terme est donc associé à la variation d'une grandeur d'état macroscopique extensive $X$ en fonction d'une grandeur de contrainte extérieure macroscopique intensive $Y^{\rm ext}$. De façon générale, $W$ s'écrit : \[W=\int_{t_{\rm A}}^{t_{\rm B}}Y^{\rm ext}\,\mathrm{d} X\] Par exemple lorsque l'on comprime un gaz, le transfert $W$ s'exprime simplement en fonction de la pression moyenne extérieure ${\overline{p}}^{\rm ext}$ appliquée en chaque point du système qui voit alors son volume macroscopique $V$ varier : \[W=\int_{t_{\rm A}}^{t_{\rm B}}-\overline{p}^{\rm ext}\,\mathrm{d} V\]
  2. Le transfert thermique $Q$ : il s'agit d'un transfert de travail qui ne peut pas se décrire en termes macroscopique. Autrement dit, par définition \[Q\equiv W^\text{ext}-W\]

Le bilan d'énergie s'écriera \begin{equation} \Delta(U+\frac{1}{2}mv_{G}^{2})=W+Q\label{eq:C5BilanThermo} \end{equation} Insistons sur le fait que cette relation n'est qu'une simple définition du transfert thermique $Q$. L'apport majeur de la thermodynamique est de postuler un principe qui n'a rien de trivial : L'énergie interne d'un système macroscopique à l'équilibre thermodynamique ne dépend que des variables macroscopiques d'état. De plus l'énergie interne est une fonction extensive.

Ce principe trouve une justification en Physique Statistique moyennant quelques hypothèses Il faut notamment supposer d'une part l'ergodicité qui, pour simplifier, signifie l'existence d'un chaos moléculaire et d'autre part une portée des interactions intermoléculaires petite devant la taille du système. Par exemple, une étoile n'obéit pas au premier principe par le fait que les interactions internes sont gravitationnelles et donc de portée infinie : l'énergie interne gravitationnelle viole en effet le premier principe par son caractère non extensif.. Associé au second principe, il forme une science phénoménologique -- la Thermodynamique -- de grande importance pour la chimie, l'énergétique etc.

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