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MENUCours de Mécanique classique

Lois de Newton

Isaac Newton (1642-1727) - physicien et mathématicien anglais - fut le théoricien le plus respecté du 17ème siècle. Il publie en 1687 son ouvrage phare Naturalis Philosophiae principia mathematica dans lequel il jette les bases mathématiques de sa mécanique : il réussi le tour de force d’unifier les lois de la mécanique terrestre (chute des corps) avec les lois de la mécanique céleste. Son traitement du mouvement des planètes en accord avec les lois de Kepler, transformera cette théorie en un véritable pilier de la physique moderne pendant plus de deux siècles, jusqu’à l’arrivée d’un certain Albert Einstein.... Newton repose sa théorie sur trois principes que nous allons détailler. Insistons sur le fait que ces trois principes forment un tout indissociable et cohérent.

La notion de point matériel

La mécanique newtonienne repose sur un concept clé : le point matériel. En effet, on admet que tout système mécanique peut, à partir d’une certaine échelle, se décomposer en points matériels, sans structure interne (on peut penser aux atomes mais ce n’est pas nécessaire) qui interagissent les uns sur les autres via des forces qu’il s’agit de modéliser.

Définition

Un système mécanique sera assimilé à un point matériel si son état (position, mouvement) est complètement décrit à l'aide de trois coordonnées spatiales au maximum. De plus, un point matériel se caractérise par une propriété dynamique : la masse inerte notée $m$ mesurant l'inertie du mouvement. Cette quantité est un scalaire positif et s'exprime en kilogramme (symbole kg) dans le Système International d'Unités.

La connaissance des lois qui régissent le mouvement d’un point matériel permet de décrire l’évolution de tout système matériel. La mécanique céleste, la mécanique des solides et la mécanique des fluides reposent sur cette approche réductionniste.

Nous verrons plus tard qu’il est possible, dans certaines conditions, d’assimiler un système macroscopique à un point matériel. Pour l’instant il suffit d’admettre qu’il existe une échelle où ce réductionnisme est possible.

Quantité de mouvement

Définition

Un point matériel M en mouvement dans un référentiel $\mathcal{R}$, acquiert une quantité de mouvement (ou impulsion) \begin{equation} \overrightarrow{p}_{\!\rm M}=m \overrightarrow{v}_{\!\rm M} \end{equation} avec \(m\) désignant la masse inerte du point matériel.

La quantité de mouvement d’un système de points se construit en sommant les contributions de chaque point matériels. Ainsi, la quantité de mouvement d’un système mécanique \(\mathcal{S}\) formé de \(N\) points matériels de masse \(m_{i}\) s’écrit \[ \overrightarrow{p}_{\!\mathcal{S}}=\sum_{i=1}^{N}m_{i} \overrightarrow{v}_{\!\rm{M}_{i}} = \sum_{i=1}^{N}m_{i}\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\textrm{OM}_{i}}}{\mathrm{d} t} \] Si maintenant nous définissons le centre d'inertie G comme étant le barycentre des masses inertes : \[ m\,\overrightarrow{\rm OG}=\sum_{i=1}^{i=N}m_{i}\,\overrightarrow{\textrm{OM}_{i}} \qquad\text{avec}\qquad m=\sum m_{i} \] il vient alors, par dérivation : \[ m\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\rm OG}}{\mathrm{d} t}= \sum_{i=1}^{N}m_{i}\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\textrm{OM}_i}}{\mathrm{d} t} \] Ainsi, la quantité de mouvement d'un système de points matériels \(\mathcal{S}\), de masse totale \(m\), est la même que celui d'un point matériel de même masse et situé au centre d'inertie G.

\begin{equation} \overrightarrow{p}_{\!\mathcal{S}}=m\frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\rm OG}}{\mathrm{d} t}=m\overrightarrow{v}_{\!\text{G}} \label{eq:meca_c2_2} \end{equation}

Principe d’inertie

Le principe d’inertie est un des piliers de la mécanique newtonienne. C’est Galilée qui en eût l’intuition et Newton qui le formalisa dans ses philophiae naturalis principia mathematica. L’idée sous-jacente du principe d’inertie est l’homogénéité de l’espace : un corps isolé n’a aucune raison d’aller plus à droite qu’à gauche ni plus vers l’arrière que vers l’avant ; le mouvement naturel est le mouvement rectiligne uniforme.

Principe d'inertie

Dans un référentiel galiléen, un point matériel isolé (libre de toute influence extérieure) conserve sa quantité de mouvement. En conséquence, sa trajectoire est rectiligne uniforme.

Insistons sur le fait que ce principe définit la notion de référentiel galiléen. On montrera dans le chapitre sur les référentiels non galiléens, que tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est lui même galiléen. C’est pourquoi, il suffit de trouver un référentiel galiléen pour en trouver une infinité. Cependant, le caractère galiléen étant lié à la validité du principe d’inertie, il est tributaire de la précision avec laquelle on procède à cette vérification. Ainsi, nous ne connaissons pas de référentiels absolument galiléens mais seulement des référentiels approximativement galiléens sur une certaine échelle de temps. Nous montrerons ultérieurement que le référentiel terrestre n’est pas galiléen mais que les manifestations de son caractère non galiléen sont, en première approximation, négligeables. Par conséquent, sauf avis contraire, le référentiel terrestre sera considéré galiléen.

Principe fondamental de la dynamique

Nous venons de voir que dans certains référentiels, si les actions exercées sur un point matériel M se compensent, sa quantité de mouvement se conserve. Ainsi, toute variation de quantité de mouvement est la signature d'une action non compensée de l'environnement que l'on modélise à l'aide du concept de vecteur force. La deuxième loi de Newton --dit aussi principe fondamental de la dynamique-- postule simplement que l'action d'une force est de faire varier la quantité de mouvement de façon proportionnelle :

Principe Fondamental de la dynamique (PFD)

Dans un référentiel galiléen \(\mathcal{R}\), un point matériel M soumis à une force \(\overrightarrow{f}\) voit sa quantité de mouvement varier d'autant plus vite que la force est importante. L'équation du mouvement est donnée par \begin{equation} \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}_{\!\rm M}}{\mathrm{d}t}=m \overrightarrow{a}_{\!\rm M}=\overrightarrow{f} \end{equation}

Détaillons certains aspects de ce postulat :

Dans le Système international d'unités, une force se mesure en Newton (symbole N) en hommage à Isaac Newton. L'analyse dimensionnelle de l'équation du mouvement permet de relier le newton aux autres unités de base du SI : \[ [f]=\mathrm{MLT^{-2}} \qquad\Longrightarrow\qquad 1\;\mathrm{N}=1\;\mathrm{kg.m.s^{-2}} \]

Conditions de validité

La seconde loi de Newton est valide tant que les vitesses envisagées sont petites devant \(c\simeq3,0.10^{8}\text{ m/s}\). Dans le cas contraire le problème relève de la Relativité Restreinte (Einstein 1905). Notez cependant que le principe d’inertie et le principe fondamental de la dynamique sont conservés en relativité restreinte à condition de redéfinir la quantité de mouvement.

Remarque

Dans le cadre newtonien, c'est-à-dire pour des vitesses faibles devant $c$, certains auteurs remettent en cause le PFD pour les très faibles accélérations (\(a\lesssim 10^{-10}\;\mathrm{m.s^{-2}}\)) et proposent une théorie modifiée (théorie MOND pour MOdifyed Newtonian Dynamics [1]) ce qui leur permet de justifier l'anomalie du profil des vitesses dans les galaxies sans avoir recours au concept mystérieux de masse cachée.

Théorème du centre d’inertie

Newton ajoute enfin un troisième principe.

Principe des actions réciproques

Tout corps A exerçant une force sur un corps B, subit de la part de B une force d'intensité égale, de même droite d'action et de sens opposé. Autrement dit, les actions réciproques sont opposées et coaxiales.

Remarque

La troisième loi suppose implicitement que l'action se propage de façon instantanée. En fait, un des résultats importants de la théorie de la Relativité est qu'il est impossible de transmettre une information plus vite que \(c\), c'est pourquoi le principe des actions réciproques n'est plus valide en relativité.

Illustration du Théorème du centre d’inertie.
Illustration du théorème du centre d’inertie.

Ce principe permet d’établir le théorème du centre d’inertie. Considérons un système \(\mathcal{S}\) de \(N\) points matériels \(\textrm{M}_{i=(1..N)}\). Ce système est le siège d’actions extérieures \(\overrightarrow{f_{i}}{}^{\!\rm{ext}}\) (pesanteur par exemple) et d’actions internes \(\overrightarrow{f_{ji}}\) du point M\(_{j}\) sur le point M\(_{i}\).

Lorsque l’on applique le PFD à chaque particule M\(_{i}\) on obtient, dans le référentiel d’étude supposé galiléen, \[ \frac{{\rm d}\overrightarrow{p_{i}}}{{\rm d}t}=\overrightarrow{f_{i}}{}^{\!\rm{ext}}+\sum_{j\neq i}\overrightarrow{f_{ji}} \] Par ailleurs, en vertu du principe des actions réciproques, les forces internes se compensent deux à deux. Aussi, sommons toutes les équations du mouvement de chaque particule de façon à annuler les actions internes : \[ \sum_i\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p_{i}}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}_{\!\mathcal{S}}}{\mathrm{d}t}=\sum_i \overrightarrow{f_{i}}{}^{\!\rm{ext}} \] Et compte tenu de la relation \eqref{eq:meca_c2_2}, On obtient le théorème du centre d'inertie.

Théorème du centre d'inertie (TCI)

Dans un référentiel \(\mathcal{R}\) galiléen, le centre d'inertie d'un système matériel vérifie l'équation \[ \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}_{\!\mathcal{S}}}{\mathrm{d}t} = m \overrightarrow{a}_{\rm G}=\overrightarrow{F}{}^{\!\rm{ext}} \] où $\overrightarrow{F}{}^{\!\rm{ext}}$ désigne la résultante des forces extérieures. Ainsi, le centre d'inertie a le même mouvement qu'un point matériel de masse $m$ soumis à la force $\overrightarrow{F}{}^{\!\rm{ext}}$.

Le théorème du centre d'inertie signifie donc que le mouvement du centre d’inertie ne dépend que de la connaissance des actions extérieures au système. Cependant il ne signifie pas que l’on peut assimiler un système matériel à un point matériel (ici G affecté de la masse \(m\)) au sens ou la résultante des forces extérieures peut ne pas dépendre exclusivement des coordonnées de G mais d’autres variables liées à la structure interne du système. Pour s’en convaincre il suffit de faire dévaler à un œuf une pente : suivant que l’œuf est cuit ou pas, on observera deux mouvements différentsDans cet exemple on peut montrer que la force de frottement solide dépend de la structure interne de l’œuf..

En revanche, si le système n’est pas trop grand par rapport aux corps avec lesquels il interagit et suffisamment éloigné d’eux, alors la résultante des forces ne dépend que de la position (et éventuellement de la vitesse) du centre d’inertie G. Par ailleurs, si le système est rigide et en translation (éventuellement associée à une rotation uniforme), alors la dynamique du corps ne dépend que des coordonnées du centre d’inertie. Dans ce cas, on peut assimiler le système à un point matériel de masse, la masse totale et de position celle du centre d’inertie. Par exemple, le mouvement orbital de la Terre peut être assimilé à celui d’une masse ponctuelle située en son centre liée par gravitation avec les autres astres (notamment le soleil) de l’Univers. En effet, d’une part les distances qui séparent les astres sont très grandes devant le diamètre terrestre (environ 13000 km) et d’autre part la Terre est une boule relativement rigide en rotation quasi-uniforme. Il faut cependant avoir à l’esprit qu’il s’agit bien d’une idéalisation car si l’on y regarde d’un peu plus près, notre planète est constituée de parties déformables (un noyau liquide, des océans et une atmosphère) qui ont une influence sur la rotation propre de la Terre ainsi que sur son orbite. La lune qui est l’astre le plus proche exerce une action légèrement différente sur les océans et sur le centre de la Terre de sorte que cela modifie le mouvement relatifDans un système planète-lune, les mouvements de marée dissipent progressivement l’énergie ce qui engendre une circularisation des orbites ainsi qu’une synchronisation des rotations propres. Dans le cas de la Terre, la puissance dissipée est de l’ordre de 4 TW ce qui produit une augmentation de la durée du jour d’environ 2 ms par siècle et un éloignement de la Lune d’environ 4 cm par an. On voit donc, qu’à l’échelle de l’année ces phénomènes sont totalement négligeables. des différentes parties.[2]

Remarque

Le théorème du centre d'inertie possède N fois moins d'information que le principe fondamental de la dynamique puisqu'il ne permet d'obtenir que le mouvement du centre d'inertie (3 équations scalaires) contrairement au PFD qui donne accès au mouvement de tous les points du système 3N équations).

Interactions fondamentales

Généralités

Les quatre interactions fondamentales

Dans l’état actuel de nos connaissances, l’étude de la matière depuis l’échelle subatomique jusqu’à l’échelle cosmologique permet de postuler l’existence de seulement quatre interactions fondamentales permettant d’expliquer tous les phénomènes de la Nature. Ces interactions se caractérisent par des intensités et des échelles d’action très différentes.

Les 4 interactions.
f représente la force ressentie par deux protons distants de 5 fermi (1 fermi = 10-15 m).
InteractionsCaractéristiquesThéories
Gravitationnelle Attractive, de portée infinie. Notion de masse grave.
f ≈ 10 -37 N
Mécanique classique ; Relativité Générale.
Électromagnétique Attractive ou répulsive, de portée infinie. Notion de charge électrique.
f ≈ 10 N
Électromagnétisme classique ; Électrodynamique Quantique
Interaction forte Interaction de très courte portée entre quarks. Notion de charge de couleur.
f ≈ 103 N
Chromodynamique Quantique (QCD - 1970)
Interaction faible Interaction de très courte portée.
f ≈ 10-2 N
Théorie Électrofaible (1961-1967)

L’interaction gravitationnelle est l’interaction la plus faible dans la nature et paradoxalement la première décrite. Cette interaction est responsable de la pesanteur, des forces de marée et des phénomènes astro-physiques. Pendant plus de deux siècles, la description newtonienne a prédominé jusqu’au début du XXe siècle où Albert Einstein interpréta la gravitation en termes géométriques, comme une déformation de l’espace-temps, nouveau concept issu de la théorie de la relativité restreinte inventée quelques années auparavant.

Du fait de l’électroneutralité de la matière macroscopique, l’interaction électromagnétique fut correctement modélisée plus tardivement puisqu’il a fallu attendre le début du XIXe siècle et les travaux de Coulomb, Biot, Savart, Laplace, Ampère etc. L’interaction électromagnétique est à l’origine de la plupart des phénomènes de notre quotidien : électricité, magnétisme, forces de contact, réactions chimiques, propagation de la lumière, transport de l’information, cohésion des atomes...Les travaux de Faraday sur l’induction magnétique ont permis de faire un pas décisif vers l’unification du magnétisme et de l’électricité. C’est James Clerc Maxwell qui, en 1864, réalise cette unification en proposant une nouvelle théorie dite théorie électromagnétique dont l’une des conséquences est l’existence d’ondes électromagnétiques. Il faudra attendre 1887, huit ans après la mort de J.C. Maxwell, pour que Hertz confirme cette prédiction. Après le succès de la mécanique quantique au début du XXe siècle, on a cherché à décrire l’interaction électromagnétique en terme de champs quantiques. Cette entreprise, qui débuta par les travaux de Dirac (1928), aboutit à la naissance de l’électro-dynamique quantique (Quantum ElectroDynamics - Feynman et al).

L’interaction forte, confinée à l’échelle subatomique, est à l’origine de la cohésion des noyaux atomiques, de la fusion et de la fission nucléaire. C’est Hideki Yukawa qui élabore la première théorie de l’interaction forte en 1935 mais il faudra attendre les années 70 pour qu’une théorie plus fiable se fasse jour : La chromodynamique quantique, c’est son nom, décrit correctement l’interaction forte à condition de postuler l’existence de nouvelles particules appelées quarks, qui, depuis 1995, furent toutes découvertes.

L’interaction faible, malgré ses conséquences vitales pour l’espèce humaineSans l’interaction faible, le Soleil ne pourrait pas briller..., opère sur des échelles subnucléaires (10-18 m) avec une intensité relativement faible. Elle est à l’origine de l’instabilité du neutron et explique notamment la radio-activité beta.

Unification des théories

C’est Isaac Newton qui le premier unifia la mécanique céleste avec la mécanique terrestre en postulant l’existence d’une interaction attractive entre tout corps matériel. Cette volonté de simplifier se poursuivit avec les travaux de Maxwell qui procéda à la seconde unification de la physique en inventant l’interaction électromagnétique. Depuis, la tentative d’unifier toutes les interactions résiste aux physiciens. En effet, à l’heure actuelle, les quatre interactions fondamentales sont décrites séparément mais trois d’entre elles (l’interaction faible, électromagnétique et forte) le sont en terme de champs quantiques dans un même formalisme mathématique : le modèle standard dont le succès s’est traduit récemment par la découverte du boson de Higgs en 2013 au CERN de Genève. La gravitation quant à elle s’explique très bien dans le cadre de la théorie de la Relativité Générale qui n’est pas une théorie quantique. De nombreux physiciens pensent que la quantification de la gravitation est la clé qui ouvrira les portes à une Physique Unifiée. L’avenir nous le dira...

chronologie des différentes théories
Chronologie des différentes théories

La gravitation

La gravitation est une interaction attractive qui concerne toute la matière. Deux masses ponctuelles s’attirent proportionnellement au produit de leur masse et à l’inverse du carré de la distance qui les sépare. Formellement, la force \(\overrightarrow{f_{12}}\) qu’exerce une masse ponctuelle \(m_{1}\) sur la masse ponctuelle \(m_{2}\) s’écrit

interaction gravitationnelle
\[\boxed{\overrightarrow{f_{12}}=-\mathcal{G}\frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}}\overrightarrow{u_{12}}}\]

La dépendance en \(1/r^2\) a été vérifiée expérimentalement sur une échelle allant de 100 µm jusqu’aux dimensions du système solaire. Dans le Système International d’Unités, les masses, dites masses graves, s’expriment en kilogramme comme la masse inerte en vertu du Principe d'Equivalence (Chap.3- Problèmes de chute) et la constante de gravitation universelle vaut \[\mathcal{G}\simeq 6,67.10^{-11}\;\mathrm{kg^{-1}m^{3}s^{-2}}\]

Champ de gravitation

Lorsqu’on approche un point matériel M de masse \(m\) près d’un système matériel \(\mathcal{S}\) ce dernier exerce une force de gravitation qui dépend de la répartition de la matière au sein de \(\mathcal{S}\). Si l’on décompose le système en un ensemble de \(N\) points matériels \(\textrm{P}_i \) de masse \(m_{i}\), et en supposant que la force de gravitation obéit au principe de superposition Le principe de superposition est une conséquence de la linéarité des équations qui régissent le champ de force. Si un système S1 produit, seul, une force f1 sur un point matériel et un système S2 produit une force f2, alors le principe de superposition stipule que les deux systèmes, agissant simultanément, produiront une force f1+f2. En toute rigueur, les équations de la relativité générale n’étant pas linéaires, la gravitation ne respecte pas le principe de superposition. Cependant, il s’agit d’une bonne approximation si les champs de gravitation sont faibles ce qui est le cas pour tous les corps du système solaire. on pourra écrire que le système \(\mathcal{S}\) exerce sur M une force \[\overrightarrow{F}=m\sum_{i=1}^{N}-\frac{\mathcal{G} m_{i}}{r_{i}^{2}}\overrightarrow{u_{i}}=m\overrightarrow{g}(\rm M)\] où \(\overrightarrow{g}(\rm M)\) désigne, par définition, le champ de gravitation au point M.

Une des propriétés étonnantes des interactions en \(1/r^{2}\) est que lorsque la distribution de masse présente une symétrie sphériqueIl existe alors un centre O d’où la répartition de la matière est identique quelque soit la direction dans laquelle on regarde., le champ de gravitation en M ne dépend que de la distance OM et de la masse contenue dans la sphère de rayon OM.

À retenir

Le champ de gravitation produit par une répartition de masse à symétrie sphérique de centre O, vaut : \[\overrightarrow{g}(r)=-\frac{\mathcal{G}m(r)}{r^{2}}\overrightarrow{u_{r}}\] où \(r\) est la distance OM, \(\overrightarrow{u_{r}}\) le vecteur unitaire radial et \(m(r)\) la masse contenue dans la sphère de rayon \(r\). Une conséquence immédiate est qu'une boule à symétrie sphérique de masse \(m\) et de rayon \(R\) produit, à l'extérieur de la boule, un champ de gravitation identique à celui qu'exercerait une masse ponctuelle de masse \(m\) située au centre de la boule : \[\overrightarrow{g}(r\geq R)=-\frac{\mathcal{G}m}{r^{2}}\overrightarrow{u_r}\]

pesanteur

Sur Terre, la force de pesanteur \(\overrightarrow{P}\), ou poids, à l’origine de la chute des corps est essentiellement due à la force de gravitation terrestre (cf. chapitre sur les référentiels non galiléens pour une étude détaillée de la pesanteur terrestre) et l’on peut écrire \[\overrightarrow{P}\simeq m \overrightarrow{g}\] Au voisinage du sol, \(\overrightarrow{g}\) est uniforme et a pour intensité \(g\simeq 9,8\;\mathrm{N.kg^{-1}}\). Tant que la dimension du corps reste faible devant le rayon terrestre, on montre que le poids s'applique au barycentre des masses et ne dépend que de la position du centre d'inertie. C'est pourquoi lorsque l'on étudie la chute des corps on assimile ces derniers à des points matériels.

L’interaction électromagnétique

L’interaction électromagnétique possède deux aspects : la force électrique et la force magnétique. La force électrique entre deux particules électriquement chargées est soit attractive soit répulsive. L’état électrique des particules est caractérisé par leur charge électrique \(q\), scalaire positif ou négatif. Deux charges ponctuelles de même signe subissent des forces répulsives opposées et coaxiales en accord avec le principe des actions réciproques. Lorsque les deux charges électriques sont de signes opposés, les forces sont attractives :

interactions coulombiennes

En 1785, Charles-Augustin Coulomb met en évidence, à l’aide d’une balance de torsion qu’il a réalisé lui-même, la loi qui porte désormais son nom : La force électrique - dite aussi force coulombienne - entre deux charges ponctuelles immobiles dans le vide varie comme l’inverse du carré de la distance qui les sépare et dépend de leur quantité de charge :

\begin{equation} \overrightarrow{f_{12}}=K\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\overrightarrow{u_{12}} \label{eq:meca_c2_loi_de_coulomb} \end{equation}
Dans le Système International d’Unités, les charges s’expriment en coulomb (symbole : C) et la constante \(K\) vaut \[K=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\simeq 9,0.10^{9}\;\mathrm{m.F^{-1}}\] où \(\varepsilon_{0}\) désigne la permittivité diélectrique du videLa permittivité diélectrique du vide est, dans le Système International, définie à partir de deux constantes fondamentales, la perméabilité magnétique du vide μ0=4π.10 -7H/m et la vitesse de la lumière dans le vide c=299 792 458 m/s. En effet on a μ0ε0 c2=1 de telle sorte que K est une constante fondamentale qui vaut K=c 2/10 7=8 987 551 787 m/F..

Exercice

Dans l'atome d'hydrogène, comparer la force électrique que ressent l'électron de la part du proton avec la force gravitationnelle. On donne :

Le rapport de la force électrique sur la force gravitationnelle vaut \[ \frac{f_{\rm e}}{f_{\rm g}}=\frac{K\,e^2}{\mathcal{G}m_{\rm e}m_{\rm p}}= \frac{9,0.10^9\times (1,6.10^{-19})^2}{6,67.10^{-11}\times 9,1.10^{-31}\times 1,66.10^{-27}}=2,3.10^{39}\gg 1 \] L'interaction gravitationnelle est complètement négligeable devant l'interaction électrostatique.

Champ électrique

Considérons une distribution de charges ponctuelles \(q_{i=(1..N)}\) placées en \(\mathrm{P}_{i}\) et une charge test \(Q\) placée en M. Cherchons à exprimer la force qu’exerce cet ensemble de charges sur la charge test. D’après le principe de superpositionLes équations qui régissent les effets électromagnétiques étant linéaires, les forces électromagnétiques obéissent au principe de superposition. les forces qu’exercent chacune des charges \(q_{i}\) sur la charge \(Q\) ont pour résultante : \[ \overrightarrow{F}=Q\sum_{i=1}^{N}\frac{q_{i}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{u_{i}}}{r_{i}^{2}} = Q\sum_{i=1}^{N}\frac{q_{i}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{\textrm{P}_{i}\textrm{M}}}{\textrm{P}_{i}\textrm{M}^3}=Q\overrightarrow{E}(\rm M) \] où \(\overrightarrow{E}(\rm M)\) désigne le champ électrique créé en M par la distribution de charges. Notez que la force électrique et la force de gravitation sont mathématiquement analogues : la masse et le champ de gravitation sont à la force de gravitation ce que sont la charge et le champ électrique à la force électrique.

Force magnétique

L’interaction magnétique est une interaction qui concerne les charges en mouvement. Par exemple si l’on considère deux charges électriques \(q_{1}\) et \(q_{2}\) animées d’une vitesse \(\overrightarrow{v_{1}}\) et \(\overrightarrow{v_{2}}\), la force que produit la charge \(q_{1}\) sur \(q_{2}\) s’écrit sous la forme

Force magnétique

\[\overrightarrow{f_{12}}=q_{2}\,\overrightarrow{E_{1}}+q_{2}\, \overrightarrow{v_{2}}\wedge \overrightarrow{B_{1}}\] où \(\overrightarrow{B_{1}}\) désigne, par définition, le champ magnétique produit par la charge \(q_{1}\).

Notez que la force magnétique \(q_{2}\overrightarrow{v_{2}}\wedge \overrightarrow{B_{1}}\) est toujours perpendiculaire à \(\overrightarrow{v_{2}}\) et de ce fait viole le principe des actions réciproques puisqu’elle n’est pas nécessairement portée par la droite qui joint les deux charges.

Les champs magnétiques sont produits à l’aide de courants électriques et/ou de matériaux aimantés et se mesurent en tesla (symbole : T) dans le Système International d’Unités.

Les interactions nucléaires

L’interaction faible et forte ont la particularité d’être des interactions de très courte portée : elles agissent sur une distance caractéristique de l’ordre du fermi (1 fermi = 1 femtomètre = 10 -15 m). À cette échelle, la physique newtonienne n’opère plus et une description quantique est nécessaire. C’est pourquoi nous n’envisagerons que les interactions électromagnétiques et gravitationnelles par la suite.

Interactions phénoménologiques

Lorsque deux corps entrent en contact, dans un premier temps, ce sont les atomes en surface qui interagissent via des interactions de courte portée de nature électromagnétique, lesquelles seront responsables de l’apparition, à l’échelle macroscopique, de ce que l’on appelle les forces de contact. Dans un deuxième temps, si ces actions de contact sont suffisamment importantes, elles peuvent avoir un effet au sein même du solide et perturber la cohésion du corps ce qui provoque une déformation macroscopique. Nous donnons ici quelques lois phénoménologiquesLoi de comportement qui permet de décrire, dans un certain domaine de validité, un phénomène. En général, cette loi fait appel à des paramètres déterminés par l’expérience. Une loi phénoménologique n’est pas fondamentale. associées à ces actions, sans chercher à les justifier par des modèles atomiques.

Contacts solide-solide

Forces de contact solide-solide
Forces de contact solide-solide

Le contact entre deux solides fait apparaître deux forces : une force \(\overrightarrow{N}\) normale au support et une force \(\overrightarrow{T}\) tangentielle au support, dite force de frottement solide qui s’oppose au glissement.

Amontons (1699) et Coulomb (1785) ont établi les lois comportementales du frottement solide que l’on peut résumer ainsi :

  1. En l’absence de frottement, \(T=0\).
  2. En présence de frottement on distingue deux cas de figure :
    1. Il y a adhérence et donc absence de glissement tant que \(T<\mu_{s}N\) où \(\mu_{s}\) désigne le coefficient de frottement statique.
    2. Lorsque la condition ci-dessus ne peut plus être respectée, il y a glissement avec frottement. La force de frottement est opposée à la vitesse de glissementLa vitesse de glissement est la vitesse d’un point M du solide au voisinage de la surface de contact par rapport au support. \(\overrightarrow{v_{g}}\) et \(T=\mu_{d}N\) où \(\mu_{d}\) désigne le coefficient de frottement dynamique. Les coefficients \(\mu_{s}\) et \(\mu_{d}\) sont assez proches et en général on a \(\mu_{s}>\mu_{d}\). Le Tableau suivant donne quelques valeurs de \(\mu_{s}\).
Interfacesacier/acieracier/téflonpneu/routebois/bois
\(\mu_{s}\)0,180,04~0,80,65

Contacts fluide-solide

Considérons un obstacle solide plongé dans un fluide de masse volumique \(\rho_\text{f}\). Nous distinguerons deux cas suivant qu’il y a écoulement ou non autour du solide.

Le fluide est au repos

Lorsque le fluide est à l’équilibre dans le référentiel lié au solide, les seules forces à considérer sont des forces de pression. La poussée d’Archimède \(\overrightarrow{\Pi}\) désigne la résultante de ces forces dans le cas courant où le fluide est à l’équilibre dans le champ de pesanteur. On retiendra l’énoncé suivant.

Théorème d'Archimède (250 av.J.C.)

Tout corps immergé partiellement ou totalement dans un fluide subit de la part de celui-ci une poussée verticale, dirigée vers le haut, appelée poussée d'Archimède, dont l'intensité est égale au poids du fluide déplacé. Le point d'application de cette force est le centre de poussée ; il est différent, en général, du centre de gravité.

Le fluide est en mouvement

Supposons un solide plongé dans un fluide en écoulement permanent de vitesse \(\overrightarrow{v}\) loin de l’obstacle. L’écoulement autour de l’obstacle fait apparaître, en plus de la poussée d’Archimède, des forces de friction, dite forces de viscosité dont la résultante se décompose en deux actions :

Forces de contact fluide-solide

Lorsque que l’obstacle présente un axe de symétrie de même direction que \(\overrightarrow{v}\), la portance disparaît. C’est pourquoi, un obstacle sphérique, quelque soit la direction dans laquelle il se déplace, ne subit pas de portanceUne portance apparaît cependant lorsque l’obstacle sphérique est en rotation sur lui même : c’est l’effet magnus..

Une analyse dimensionnelle montre que ces forces peuvent s’exprimer ainsi : \[\begin{array}{ccc} F_{\rm t} & = & \frac{1}{2}\rho_\text{f}\,S\,C_{x}\, v^{2}\\[3mm] F_{\rm p} & = & \frac{1}{2}\rho_\text{f}\,S\,C_{z}\, v^{2} \end{array}\] où \(C_{x}\) et \(C_{z}\) désignent les coefficients de trainée et de portance, \(\rho_\text{f}\) la masse volumique du fluide, \(v\) la vitesse d’écoulement et \(S\) une section droite de l’obstacle. Les coefficients \(C_{x}\) et \(C_{z}\) sont sans dimension et dépendent de façon complexe du régime d’écoulement. Pour simplifier, on retiendra les deux cas limites suivants.

Tension

Lorsque l'on tire sur un fil extensible (élastique) ou un ressort celui-ci s'allonge, dans un premier temps, proportionnellement à la force appliquée. On dit que le comportement est élastique. Ce comportement est caractéristique de la matière solide et est réversible. En revanche, lorsque la force dépasse une valeur seuil, le comportement n'est plus réversible ; on obtient alors un comportement plastique qui prévient en général la rupture.

Tension élastique
Tension élastique

Considérons le cas du ressort : lorsque l'on étire légèrement un ressort d'une longueur $\Delta \ell$, il produit sur l'agent qui le déforme une force, dite tension élastique, proportionnelle à $\Delta \ell$ dans une direction opposée à l'étirement. De même si l'on comprime un peu le ressort d'une quantité $\Delta \ell$, ce dernier produit une force identique mais dans la direction opposée. Formellement cela donne :

\begin{equation} \overrightarrow{T}=-k(\ell-\ell_{0})\overrightarrow{u_x} \label{eq:tensionelastique} \end{equation}

avec $\ell_{0}$ la longueur au repos, $\ell$ sa longueur et $k$ la constante de raideur. La constante de raideur est une donnée phénoménologique qui mesure la résistance à l'allongement et qui s'exprime en $\mathrm{N.m^{-1}}$. Notez que pour un élastique, la tension n'existe que si le fil est tendu, c'est-à-dire si $\ell \geq \ell_{0}$. Par contre, un ressort peut être comprimé ou étiré de telle sorte que la loi \eqref{eq:tensionelastique} est valable quel que soit le signe de l'allongement $x=\ell-\ell_{0}$.

Tension 2

Interrogeons-nous maintenant sur la façon dont la tension est transmise le long d'un fil tendu. Supposons que l'on tende un fil en appliquant à son extrémité une force de tension $\overrightarrow{T}_{\rm a}$, le fil étant éventuellement en contact avec un surface (gorge d'une poulie par exemple). Isolons par la pensée une portion de fil situé entre $s$ et $s+\mathrm{d}s$ où $s$ désigne l'abscisse curviligne le long du fil. Cette portion de masse $\mathrm{d}m$ est soumise à quatre forces :

Si l'on note $\overrightarrow{a}(s)$ l'accélération au point de coordonnée $s$, le principe fondamental de la dynamique impose \[\mathrm{d}m \overrightarrow{a}(s)= \overrightarrow{T}(s)+\overrightarrow{T}(s+\mathrm{d}s)+\mathrm{d}\overrightarrow{f}+\mathrm{d}m \overrightarrow{g}\] Ainsi cette relation associée aux lois sur le frottement et aux lois de l'élasticité permet d'étudier la dynamique du fil. On peut retenir un résultat particulièrement simple concernant les fils sans masse glissant sans frottement. En effet dans ce cas \[ T(s)=T(s+\mathrm{d}s)\qquad\Longrightarrow\qquad T(s)=\mathrm{C^{te}} \] La tension est donc uniforme le long du fil. Par continuité on déduit que $T=T_{\rm a}$.

À retenir

Un fil sans masse se déplaçant sans frottement, transmet intégralement la tension.

Pour en savoir plus...

  1. S. HacyanWhat does it mean to modify or test Newton's second law ?Am. J. Phys. Juill. 2009, Vol.77.
  2. M. Lebars et alLes marées en géo- et astrophysique.Images de la physique - CNRS. 2008.
  3. R.P Feynman et alLe Cours de physique de Feynman : Mécanique 1. Paris, Dunod, 1979.
  4. C. Kittel et alMécanique. Berkeley : cours de physique. Paris, Armand Collin, 1972.
  5. J-P. UzanConstantes, gravitation et cosmologie : les constantes varient-elles ?BUP, Dec. 2006.
  6. T.J. QuinnLa constante de gravitation.Pour la Science, 2003, 34, n° spécial.
  7. P. LaugineLa pesée de la TerrePour la Science, 2003,34, n° special.
  8. J. WalkerL'escalade.Pour la Science, Août 1989, n°142.

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