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MENUCours d'Électromagnétisme

La force électrostatique présente les même propriétés que la force gravitationnelle, à savoir qu'elle est conservative ce qui permet d'introduire tout naturellement les notions d'énergie et de potentiel électrostatique. La connaissance du potentiel suffit alors à décrire complètement les effets électriques.

Potentiel électrostatique

Énergie d'interaction entre deux charges ponctuelles

image

Pour introduire la notion de potentiel électrostatique, intéressons nous à l'interaction entre deux charges électriques $q$ et $q'$. Supposons la première charge fixe et l'autre se déplaçant entre deux points A et B suivant un parcours $\mathcal{C}$ quelconque.

En vertu de la loi de Coulomb, la charge $q'$ subit au cours de son mouvement une force \[ \overrightarrow{f}=\frac{q'q}{4\pi\epsilon_{0}\,r^{2}}\overrightarrow{u_{r}} \] où $\overrightarrow{u_r}$ est le vecteur unitaire dirigé de la charge $q$ vers la charge $q'$. Cette force produit un travail mécanique \[ W_{\text{A}\rightarrow \text{B}}=\int_\mathcal{C}\overrightarrow{f}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \] Le déplacement présente une composante parallèle à $\overrightarrow{u_r}$ et une composante perpendiculaire : $\mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=\mathrm{d}\overrightarrow{\ell_\perp}+\mathrm{d}\overrightarrow{\ell_{||}}$. La composante parallèle, la seule qui nous intéresse pour le calcul du travail, correspond au déplacement radial $\mathrm{d}\overrightarrow{\ell_{||}}=\mathrm{d}r\, \overrightarrow{u_r}$ de sorte que le travail s'écrit \[ W_{\text{A}\rightarrow\text{B}}=\int_{\mathcal{C}}\frac{q'q\,\mathrm{d}r}{4\pi\epsilon_{0}\,r^2}= \frac{qq'}{4\pi\epsilon_{0}}\left(\frac{1}{r_{A}}-\frac{1}{r_{B}}\right) \] On constate que le travail ne dépend pas du trajet emprunté par la particule entre A et B : la force électrique est une force conservative. On peut donc définir une énergie potentielle électrique $\mathcal{E}_{\text{p}}$. Or, on sait (Forces conservatives) que \[ W_{\text{A}\rightarrow \text{B}}=-\Delta \mathcal{E}_{\text{p}}=\mathcal{E}_{\text{p}}(\text{A})-\mathcal{E}_{\text{p}}(\text{B}) \] ce qui donne, à une constante près (sans signification physique)

\begin{equation} \mathcal{E}_{\text{p}}=\frac{qq'}{4\pi\epsilon_{0}\,r} \label{eq:potentiel_electrostatique_pour_une_charge} \end{equation}

Finalement, en voyageant dans l'espace, la particule puise une énergie potentielle dans le champ électrique.

Potentiel électrostatique

Poursuivons notre raisonnement en faisant intervenir le champ électrique. On peut dire que la charge $q'$ se déplace dans un champ électrique $\overrightarrow{E}$ créé par $q$ ce qui produit une force $\overrightarrow{f}=q'\overrightarrow{E}$. Cette force conservative est reliée à l'énergie potentielle via la relation $\overrightarrow{f}=-\overrightarrow{\text{grad}}\mathcal{E}_{\text{p}}$ d'où l'on tire facilement \[ \overrightarrow{E}=-\overrightarrow{\text{grad}}\left(\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}r}\right) \]

L'opérateur gradient

L'opérateur $\overrightarrow{\text{grad}}$ est un opérateur différentiel linéaire. Il s'applique à une fonction scalaire de l'espace (champ scalaire) et retourne une fonction vectorielle de l'espace (champ vectoriel). Il se lit gradient ou nabla et se note : \[ \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z)\quad \text{ou}\quad \overrightarrow{\nabla}f(x,y,z) \] L'expression de l'opérateur gradient dépend du système de coordonnées. En coordonnées cartésiennes on retiendra la formule suivante : \[ \overrightarrow{\text{grad}}f(x,y,z)= \frac{\partial f}{\partial x}\overrightarrow{u_x}+\frac{\partial f}{\partial y}\overrightarrow{u_y}+ \frac{\partial f}{\partial z}\overrightarrow{u_z} \]

On voit donc que le champ électrique créé par une charge ponctuelle est le gradient d'une fonction. Cette propriété se généralise. En effet, comme le champ électrique créé par une distribution de charges est la somme de tous les champs individuels et que l'opérateur gradient est linéaire, il est facile de montrer que le champ créé par une distribution de charges peut toujours s'écrire

Définition du potentiel électrique

\begin{equation} \overrightarrow{E}(\text{M})\equiv -\overrightarrow{\text{grad}}V(\text{M}) \label{eq:definition_du_potentiel} \end{equation}

Cette relation définit la fonction $V(\text{M})$ appelée le potentiel électrostatique au point M.

On vient de voir que le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle $q$ s'écrit \[ V(\text{M})=\frac{q}{4\pi\epsilon_{0}r}\quad\text{[charge ponctuelle]} \] Il en découle, en vertu du principe de superposition, l'expression générale pour une distribution de charges $(q_{1},q_{2},\ldots,q_{i},\ldots,q_{N})$ :

Distribution discrète

\begin{equation} V(\text{M})=\sum_{i=1}^{N}\frac{q_{i}}{4\pi\epsilon_{0}\,r_{i}} \label{eq:potentiel_ensemble_discret} \end{equation}

Le passage discret $\to$ continu s'obtient par l'intégrale

Distribution continue

\begin{equation} V(\text{M})=\int_{\mathcal{D}}\frac{dq}{4\pi\epsilon_{0}\,r} \label{eq:potentiel_ensemble_continu} \end{equation}

où $dq=\lambda\, \mathrm{d}\ell$ ou $\sigma\;\mathrm{d}S$ ou $\rho_{\text{e}}\,\mathrm{d}V$ suivant le type de distribution Il faut noter cependant que le passage discret ➜ continu introduit des difficultés mathématiques. Par exemple, l'intégrale citée diverge pour un segment infini uniformément chargé. Cette divergence est levée dès que la taille du système devient fini ce qui montre qu'elle est liée à une modélisation non physique..

Le potentiel s'exprime en volt (symbole : V), en hommage à Volta Alessandro Volta (1745 -1827) : physicien italien et inventeur de la première pile en 1800.. Une analyse dimensionnelle montre que $\left[V\right]=\left[E\right]L$ de sorte que le champ électrique peut s'exprimé en $\mathrm{V.m^{-1}}$.

Finalement, on peut dire qu'un ensemble de charges électriques fixes produit un champ de potentiel $V$(M) et que toute charge $q$ baignant dans ce champ subit une force \[ \overrightarrow{f}=-q \overrightarrow{\text{grad}}V \] La connaissance du potentiel $V$(M) permet de connaître le champ électrique $\overrightarrow{E}$(M) et vice versa.

Remarque

La relation \eqref{eq:definition_du_potentiel} implique que le potentiel est défini à une constante additive près, dont la valeur est arbitraire. En l'absence d'autres conventions, nous ferons le choix de la prendre égale à zéro.

Topographie

En général, le potentiel $V$(M) dépend des trois coordonnées de l'espace mais, pour simplifier, nous allons supposer que le champ $V$(M) ne dépend que de deux coordonnées, disons $x$ et $y$. Cela revient finalement à étudier le potentiel dans un plan particulier. Il y a deux façons de représenter le champ scalaire $V(x,y)$ :

  1. On peut tracer l'ensemble des points $z=V(x,y)$ dans un repère cartésien et l'on obtient alors une surface donnant l'évolution du potentiel. En chaque point de cette surface, la plus grande pente donne accès au gradient du potentiel, c'est-à-dire au champ électrique. Plus exactement le champ électrique \[ \overrightarrow{E}=-\begin{pmatrix} \dfrac{\partial V}{\partial x}\\[1mm] \dfrac{\partial V}{\partial y} \end{pmatrix} \] correspond à la plus grande pente dans le sens de la descente. Ainsi le champ électrique est nul pour les points $(x,y)$ correspondant aux sommets, vallées ou col de la surface. On comprend aussi pourquoi les lignes de champ ne se referment pas : en effet, si l'on suit un chemin qui ne cesse de descendre, on ne pourra jamais revenir au point de départ.
  2. À l'instar des cartes topographiques, on préfère souvent représenter des équipotentielles, c'est-à-dire des courbes de niveau correspondant à une unique valeur de potentiel.
Notion de courbe de niveau
Les deux représentations

Remarque

Si le potentiel ne dépend que de deux coordonnées, l'équipotentielle $V(x,y)=\mathrm{C^{te}}$ est une courbe. En revanche, si le potentiel dépend de trois coordonnées, l'équipotentielle $V(x,y,z)=\mathrm{C^{te}}$ correspond à une surface.

Relation entre les lignes de champ électrique et les équipotentielles

les équipotentielles coupent les lignes de champ à angle droit.
Les équipotentielles (en pointillées) coupent les lignes de champ à angle droit.

Considérons un point M se déplaçant le long d'une équipotentielle particulière. Le potentiel conservant une valeur constante, on a $\mathrm{d}V=0$. Or, on peut écrire \[ \mathrm{d}V=\frac{\partial V}{\partial x}\mathrm{d}x+\frac{\partial V}{\partial y}\mathrm{d}y= \begin{pmatrix} \frac{\partial V}{\partial x}\\ \frac{\partial V}{\partial y} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \text{d}x\\[1mm] \text{d}y \end{pmatrix} =- \overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell} \] Ainsi, le long d'une équipotentielle, on a $\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=0$ ce qui signifie que si l'on se déplace le long d'une équipotentielle, on croise toujours le champ électrique avec un angle droit. Autrement dit, les lignes de champ électriques sont perpendiculaires aux équipotentielles.

En conséquence, si la distribution de charges présente un plan d'antisymétrie, celui-ci est nécessairement une surface équipotentielle puisque le champ y est perpendiculaire.

Notion de tension électrique

Par définition, la tension électrique est une différence de potentiel électrique ou $d.d.p$. entre deux points. On notera $U_{\text{AB}}$ la $d.d.p$ entre A et B :

Tension électrique

\begin{equation} U_{\mathrm{AB}}\equiv V(\text{A})-V(\text{B}) \end{equation}

La tension, comme le potentiel électrique, s'exprime en volt. Notez que si le potentiel présente une indétermination, la tension est par contre bien déterminée ce qui en fait une grandeur mesurable indépendante du choix arbitraire de l'origine des potentiels.

La connaissance du champ électrique en tout point d'une région de l'espace permet de calculer la tension entre deux points de cette région par un calcul intégral :

Relation tension/champ électrique

\begin{equation} \int_{\text{A}}^{\text{B}}\overrightarrow{E}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{\ell}=-\int_{\text{A}}^{\text{B}} \mathrm{d}V=V(\text{A})-V(\text{B})=U_{\text{AB}} \label{eq:relation_tension_champ_electrique} \end{equation}

En conséquence, si le champ électrique possède une norme constante $E$ le long d'une ligne de champ, la tension existante entre deux points de cette ligne de champ distants de $d$ vaut $U=Ed$.

Ordres de grandeur
ÉlectroniquePilesÉlectrotechnique (moteurs, centrales)
µV - V1-10 V100 V - 400 kV

L'énergie électrostatique

Nous distinguerons deux cas de figure.

  1. Soit une charge électrique est plongée dans un champ électrique créé par un système électrique extérieur. On dira que la charge est en interaction avec un champ électrique extérieur et on montrera que l'on peut définir une énergie potentielle électrique.
  2. Soit $N$ charges sont en interaction mutuelle. On montrera que ce système de charges possède une énergie potentielle interne.

Énergie potentielle d'une charge dans un champ extérieur

La force électrostatique que subit une charge $q$ plongée dans un champ extérieur $\overrightarrow{E}_{\text{ext}}$ vaut $\overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}_{\text{ext}}$. En vertu de la définition du potentiel électrique, on a \[ \overrightarrow{E}_{\text{ext}}=-\overrightarrow{\text{grad}}V_{\text{ext}} \] où $V_{\text{ext}}$ désigne le potentiel électrique. On peut aussi écrire \[ \overrightarrow{F}=q\overrightarrow{E}_{\text{ext}}=-\overrightarrow{\text{grad}}\mathcal{E}_{\text{p}} \quad\text{avec}\quad \mathcal{E}_{\text{p}}=qV_{\text{ext}} \] où $\mathcal{E}_{\text{p}}$ désigne l'énergie potentielle électrostatique. Cette énergie s'exprime en joule et n'est pas à confondre avec le potentiel électrostatique.

L'électron-volt

Une charge électrique $q$ soumise à un champ électrique voit donc son énergie cinétique varier suivant la relation (conservation de l'énergie) : \[ \mathcal{E}_{\text{c A}}+qV_{A}=\mathcal{E}_{\text{c B}}+qV_{B}\Rightarrow \mathcal{E}_{\text{c B}}=\mathcal{E}_{\text{c A}}+qU_{AB} \] Autrement dit, le gain d'énergie ne dépend que de la tension électrique entre la position initiale et la position finale : \[ \Delta \mathcal{E}_{\text{c}}=qU_{AB} \] Lorsque $q=e$ et $U_{AB}=1$ V, le gain d'énergie vaut, par définition, 1 électron-volt. Ainsi, \[ 1\;\mathrm{eV}=1,6.10^{-19}\;\mathrm{J} \]

Énergie potentielle d'interaction d'un système de charges ponctuelles

Considérons tout d'abord le cas de deux charges ponctuelles $q_{1}$ et $q_{2}$ en interaction dans le vide, à la distance $r_{12}$ l'une de l'autre. On peut considérer que la charge $q_{1}$ est plongée dans le potentiel électrostatique créé par $q_{2}$ : \[ \mathcal{E}_{\text{p int}}=q_{1}V_{2}(1)=\frac{q_{1}q_{2}}{4\pi\epsilon_{0}r_{12}} \] On aurait pu retrouver ce résultat en raisonnant avec l'autre charge de telle sorte que \[ \mathcal{E}_{\text{p int}}=q_{2}V_{1}(2)=q_{1}V_{2}(1)=\frac{1}{2}\left(q_{1}V_{2}(1)+q_{2}V_{1}(2)\right) \] Considérons maintenant le cas de $N$ charges ponctuelles $q_{i}$ en interaction dans le vide, à la distance $r_{ij}$ l'une de l'autre. Chaque charge est en interaction avec $N-1$ autres charges ce qui donne au total $\frac{1}{2}N(N-1)$ couples en interaction :

Énergie potentielle d'un système de charges

\begin{equation} \mathcal{E}_{\text{p int}}=\sum_{<i,j>_{i\neq j}}\frac{q_{i}q_{j}}{4\pi\epsilon_{0}r_{ij}} \frac{1}{2}\sum_{i}q_{i}\sum_{j\neq i}V_{j}(i)=\frac{1}{2}\sum_{i}q_{i}V(i) \label{eq:energie_interaction_systeme_de_charges} \end{equation}

où $V(i)$ est le potentiel électrique dans lequel est plongée la charge $q_{i}$. Le facteur $\frac{1}{2}$ permet de ne pas compter deux fois les mêmes couples.

On peut noter qu'une valeur négative de l'énergie signifie que le système se trouve dans un état plus stable que si les particules étaient séparées à l'infini (dans ce cas \(\mathcal{E}_{\text{p int}}=0\)).

Exercice

Calculer l'énergie électrostatique d'une distribution de 4 charges ponctuelles $q$ identiques disposées sur un carré d'arête $a$. On prendra la convention habituelle (potentiel nul à l'infini).

Les quatre charges jouant le même rôle, on a \[ \mathcal{E}_{\text{p int}}=\frac12\left(4\times qV\right) \] où $V$ représente le potentiel dans lequel est plongée une charge. Celle-ci est entourée par trois charges situées à la distance, $a$, $a\sqrt{2}$ et $a$. Ainsi, le potentiel s'écrit \[ V=\frac{2q^2}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac1a+\frac{1}{a\sqrt{2}}+\frac1a\right) \] Finalement, ce système présente une énergie d'interaction électrique \[ \mathcal{E}_{\text{p int}}=\frac{q^{2}}{4\pi\epsilon_{0}a}(4+\sqrt{2}) \]

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