F

MENUCours d'Électromagnétisme

L'électromagnétisme consiste en l'étude des phénomènes qui font intervenir des charges en mouvement (courants électriques, antenne radio, conductimétrie, courants de Foucault,...). On se restreint, pour l'instant, aux phénomènes indépendants du temps ce qui permet de séparer l'étude des effets magnétiques et électriques. Ce cours aborde l'électrostatique, c'est-à-dire l'étude du champ électrique produit par des charges immobiles.

Loi de Coulomb

Quelques faits expérimentaux

Les premières observations

Il y a plus de 2600 ans, les savants grecs avaient déjà constaté que l'ambre jaune (une résine naturelle) frottée énergiquement avec une fourrure avait la faculté d'attirer les corps légers tels que les cheveux ou fetus de paille. C'est d'ailleurs le mot grec $\eta \lambda \varepsilon\kappa \tau \rho o \nu$ (êlektron), signifiant ambre, qui est à l'origine du terme électricitéTerme introduit en 1600 par William Gilbert dans son ouvrage De Magnete.. Cette électrisation par frottement, dite triboélectricité, s'observe facilement dans la vie quotidienne. Parfois une forte électrisation peut même produire des étincelles comme lorsqu'on enlève un pull de laine rapidement (à condition d'être dans une pièce sombre pour percevoir ces étincelles). L'éclair, lors d'un orage, est un phénomène d'électricité statique impressionnant qui fut longtemps craint par les hommes. Il fallut attendre B. Franklin en 1752 pour identifier la nature électrique du phénomène et pour maîtriser les dégâts du tonnerre par l'invention du paratonnerre.

Les deux formes de l'électricité

C'est Charles du Fay qui observa les deux formes d'électricité. On peut mettre en évidence ces deux formes par les expériences suivantes.

Expérience 1
Un pendule électrostatique est constitué d'une bille de polystyrène recouverte d'une feuille d'aluminium suspendue à une potence par un fil. Lorsqu'on approche une baguette électrisée du pendule, la bille est attirée par la baguette. Après contact avec la baguette, elle est repoussée.
Expérience 1
Expérience 2
Si on électrise un pendule électrostatique par contact avec une baguette chargée, et que l'on approche successivement d'autres baguettes électrisées, on s'aperçoit que la boule du pendule est soit attirée, soit repoussée par les diverses baguettes. On peut donc en déduire qu'il existe deux types de forces électriques.

Électrisation par influence

Expérience 3
Expérience 3
Plus la baguette se rapproche de l'électroscope, plus les aiguilles s'écartent.
Un électroscope est constitué d'une tige métallique à laquelle on fixe une aiguille métallique pouvant librement tourner autour d'un axe. On fixe parfois deux feuilles très fines en or ou en aluminium. L'ensemble est placé dans une enceinte transparente et isolante (verre). Lorsqu'on approche une baguette électrisée de l'électroscope (sans le toucher), l'aiguille s'écarte de la verticale. Si on éloigne la baguette, l'aiguille retrouve sa position verticale de repos. Il y a électrisation de la tige et de l'aiguille sans contact, seulement par influence.

Notion de charge électrique

Jusqu'au XVIIIème siècle, l'électricité est une science essentiellement qualitative et il faut attendre le début du XIXème siècle pour qu'une théorie mathématique de l'électricité émerge : c'est l'électrostatique. La notion de charge électrique algébrique s'est imposée au fil du temps car elle permettait de décrire correctement les phénomènes. De nos jours, on admet les hypothèses suivantes.

  1. La matière est constituée de particules que l'on peut caractériser par une propriété scalaire, noté $q$ et désignant la charge électrique. Cette charge est positive, négative ou nulle (on parle de particule neutre dans ce cas).
  2. Deux particules possédant une électricité de même nature, c'est-à-dire une charge de même signe, se repoussent ; elles s'attirent dans le cas contraire.
  3. interaction électrique
  4. La charge étant caractéristique de la matière, elle ne dépend pas du référentiel.
  5. Par ailleurs, la charge électrique d'un système isolé se conserve.
  6. Enfin, Millikan a montré en 1906 (Prix Nobel 1923) que la charge électrique est quantifiée. C'est en étudiant la chute de microscopiques gouttes d'huile électrisées, entre les armatures d'un condensateur, qu'il mit en évidence le caractère discontinu de la charge : \[q=Ne \quad\text{avec}\quad N\in \mathbb{Z}\] où $e$ désigne la charge élémentaire. De nos jours, on sait que ce caractère granulaire de la charge trouve son origine dans la structure atomique de la matière : tout corps matériel est constitué d'atomes eux même formés d'un noyau chargé positivement (découvert en 1911 par Rutherford) autour duquel gravitent des électrons, particules élémentaires possédant toutes la même charge $q_{e}=-e$. La plupart des phénomènes électriques sont liés à un déplacement et/ou apport et/ou retrait d'électrons à la matière.

Le concept de charge permet d'expliquer les différents expériences décrites précédemment :

Expérience 1
Lorsqu'on approche la baguette électrisée de la sphère métallique, les électrons libres du métal sont attirés par le verre chargé positivement, laissant derrière eux des charges positives. Bien que la charge globale reste nulle, la force résultante est attractive : en effet, l'attraction entre les électrons et le verre l'emporte sur la répulsion entre les charges positives du conducteur et le verre.
Après un contact, quelques électrons sont transférés sur la baguette en verre ce qui rend la sphère métallique globalement positive d'où la répulsion observée Il faut quand même signaler que lorsque l'expérience est réalisée avec une baguette faiblement électrisée, la sphère conductrice vient s'y coller sans être ensuite repoussée : c'est le phénomène d'adhérence électrique. En revanche si la baguette est suffisamment chargée, la pression entre les deux corps est plus forte ce qui favorise un transfert d'électrons. À l'extrême, lorsque le verre est fortement chargée, le transfert de charge s'effectue sans qu'il y ait contact, mais par un simple effet de pointe (voir chapitre sur les les conducteurs électriques).
Expérience 2
Le frottement d'un corps sur un autre induit un transfert d'électrons dans un sens qui dépend des corps frottés l'un contre l'autre. C'est pourquoi, il est possible d'électriser positivement ou négativement une baguette. On peut donc produire une répulsion ou une attraction.
Expérience 3
Les charges positives du verre électrisé attirent les électrons libres du plateau métallique faisant apparaître au niveau de l'aiguille et de la tige métallique un défaut d'électrons (des charges +). L'aiguille métallique est alors d'autant plus repoussée par la tige qu'elle est chargée. La rotation de l'aiguille est donc d'autant plus importante que la baguette se rapproche.

Loi de Coulomb

À la fin du XVIIIème siècle, l'idée que les charges produisent une force de type newtonien (en $1/r^2$) était une hypothèse séduisante mais difficile à prouver expérimentalement.

L'expérience de Coulomb

C'est en 1785 que CoulombCharles-Augustin Coulomb (1736-1806) : ingénieur militaire français et fin expérimentateur distingué par l'Académie des Sciences. Il est connu pour ses travaux sur l'électricité et le magnétisme, son invention du pendule de torsion et ses travaux sur les frottements. met en évidence, à l'aide d'une balance de torsion qu'il a réalisée lui-même, la loi qui porte désormais son nom. L'expérience consiste à fixer une boule de sureau B à l'extrémité d'une tige isolante, suspendue en son milieu à un fil d'argent dont on peut contrôler l'angle de torsion. Ce système étant au repos, on approche une autre boule A tenue par une tige isolante au contact de la boule B. Ensuite, on électrise les deux boules simultanément de sorte qu'elle acquièrent la même charge $Q$. La boule A est maintenue en place et la boule B s'éloigne sous l'action de la force électrique. À l'équilibre, le moment de la force électrique compense le couple de torsion. Il suffit ensuite d'augmenter, de façon contrôlée, la torsion du fil pour rapprocher les boules et mesurer la force pour des distances plus faibles. C'est ainsi que Coulomb trouva que la force électrique varie en $1/r^2$.

Expérience de Coulomb
Expérience de Coulomb.

Remarque

Les résultats de Coulomb furent contestés en son temps et il faudra une vingtaine d'années pour que la loi en $1/r^2$ s'impose partout, plus pour la validité de ses conséquences que par les mesures de Coulomb. L'histoire a finalement retenu la démonstration expérimentale de Coulomb. Cependant, il ne faudrait pas oublier la contribution de Cavendish, un brillant expérimentateur, qui, avant Coulomb, a réussi à montrer de façon fort élégante que l'interaction électrique pouvait se décrire par une force en $1/r^n$ avec $n=2,00\pm 0,04$ ; résultat beaucoup plus précis que celui de Coulomb[1].

Pour résumer, la force électrique - dite aussi force coulombienne - entre deux charges ponctuelles immobiles dans le vide varie comme l'inverse du carré de la distance qui les sépare et dépend de leur quantité de charge.

Li de Coulomb

Loi de Coulomb

\begin{equation} \overrightarrow{f_{12}}=K\frac{q_{1}q_{2}}{r^{2}}\overrightarrow{u_{12}} \label{eq:meca_c2_loi_de_coulomb} \end{equation} où $\overrightarrow{u_{12}}$ est un vecteur unitaire. Dans le Système International d'Unités, les charges s'expriment en coulomb (symbole : C) et la constante $K$ vaut \[ K\equiv \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\simeq 9,0.10^{9}\;\mathrm{m.F^{-1}} \] où $\varepsilon_{0}$ désigne la permittivité diélectrique du videLa permittivité diélectrique du vide est, dans le Système International, définie à partir de deux constantes fondamentales, la perméabilité magnétique du vide μ0 = 4π.10-7 H.m-1 et la vitesse de la lumière dans le vide c = 299 792 458 m.s-1. En effet on a μ0ε0c2 = 1 de telle sorte que K est une constante fondamentale qui vaut K = c2/107 = 8 987 551 787 m.F-1.

Exercice

Dans l'atome d'hydrogène, comparer la force électrique que ressent l'électron de la part du proton avec la force gravitationnelle. On donne la charge élémentaire $\boldsymbol{e=1,6.10^{-19}\;\mathrm{C}}$, la masse de l'électron $\boldsymbol{m_{\text{e}}=9,1.10^{-31}\;\mathrm{kg}}$ et la masse du proton $\boldsymbol{m_{\text{p}}=1,66.10^{-27}\;\mathrm{kg}}$.

Le rapport de la force électrique sur la force gravitationnelle vaut \[ \frac{f_{\rm e}}{f_{\rm g}}= \frac{K\,e^2}{\mathcal{G}m_{\rm e}m_{\rm p}}= \frac{9,0.10^9\times (1,6.10^{-19})^2}{6,67.10^{-11}\times 9,1.10^{-31}\times 1,66.10^{-27}} =2,3.10^{39}\gg 1 \] L'interaction gravitationnelle est complètement négligeable devant l'interaction électrostatique.

Le champ électrique

Champ électrostatique créé par un ensemble de charges ponctuelles

Considérons une distribution de charges ponctuelles $(q_{1},\ldots,q_{N})$ placées en différents points P$_{i=1\ldots N}$ et une charge test $Q$ placée en M. Cherchons à exprimer la force qu'exerce cette ensemble de charges sur la charge test.

Notion de champ électrique

On admet que l'interaction électrique obéit au principe de superposition : la force résultante est la somme vectorielle des forces qu'exercent chacune des charges $q_{i}$ sur la charge $Q$ soit \[ \overrightarrow{F}=\sum_{i=1}^{N}\overrightarrow{f_i}=\sum_{i=1}^{N}\frac{Qq_{i}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{u_{i}}}{r_{i}^{2}} \quad\text{avec}\quad r_i=\mathrm{P_iM} \] Ce qui permet d'écrire

Champ électrique

\begin{equation} \overrightarrow{F}=Q \overrightarrow{E}(\text{M}) \quad\text{avec}\quad \overrightarrow{E}(\text{M})=\sum_{i=1}^{N}\frac{q_{i}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{u_{i}}}{r_{i}^{2}} \label{eq:definition_du_champ_E} \end{equation}

Où $\overrightarrow{E}$(M) désigne le champ électrique créé en M par la distribution de charges. Ce vecteur est défini en tout point de l'espaceCe champ diverge lorsque M = Pi. Cette divergence provient d'une modélisation qui n'est plus valide dès que l'on s'approche de trop près des charges : la charge ponctuelle n'existe pas en réalité, il faut reconsidérer la modélisation dans ce cas. : il s'agit d'un champ vectoriel. On peut voir $\overrightarrow{E}$(M) comme une propriété locale de l'espace. Notez que lorsque l'on change la charge $q_i$ en $q'_i$ cela modifie le champ électrique en M mais de façon non instantané. On verra que toute perturbation électromagnétique se propage à la vitesse de la lumière dans le vide.

Ordre de grandeur

Dans le Système d'Unités International, l'intensité du champ électrique se mesure en volt par mètre (symbole $\mathrm{V.m^{-1}}$). Le champ à la surface de la Terre vaut environ 100-150 V/m en dehors des périodes d'orage. En période d'orage, le champ terrestre est inversé et est de l'ordre de 10 kV/m. Il peut même atteindre 100 kV/m près des pointes conductrices.

La lumière solaire qui nous arrive sur Terre est une onde électromagnétique : le champ électrique de l'onde est de l'ordre de (en valeur efficace) 1000 V/m.

Dans l'atome, la cohésion est assurée grace à des champs électriques énormes, de l'ordre de 100 GV/m.

Topographie - Symétrie

Décrivons différentes situations pour dégager quelques propriétés du champ électrique. Tout d'abord, la représentation d'un champ vectoriel fait généralement appel à la notion de ligne de champ.

Ligne de champ

Notion de ligne de champ

Pour représenter un champ vectoriel $\overrightarrow{A}(x,y,z)$, on trace des courbes orientées $\mathcal{C}$ telles que leur tangente, en chaque point M$(x,y,z)$, ait la même direction et le même sens que le champ vectoriel en ce point. Ces courbes sont des lignes de champ.

D'un point de vue mathématique, si l'on note $\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=(\text{d}x,\text{d}y,\text{d}z)$, le vecteur déplacement infinitésimal le long de la ligne de champ $\mathcal{C}$, on a \[ \overrightarrow{\mathrm{d}\ell}\wedge\overrightarrow{A}(M)=\overrightarrow{0} \quad\text{pour tout M }\in\mathcal{C} \]

Champ créé par une charge ponctuelle

Plaçons une charge ponctuelle $q$ à l'origine d'un repère et calculons le champ électrique créé en un point M de l'espace situé à la distance $r$ de l'origine. On obtient \[ \overrightarrow{E}(\text{M})=\sum_{i=1}^{N}\frac{q_{i}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{u_{i}}}{r_{i}^{2}}= \frac{q\overrightarrow{u_{r}}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \] où $\overrightarrow{u_r}$ désigne le vecteur unitaire radial du système de coordonnées sphériques.

Simulation

Built with Processing

Your browser does not support the canvas element.
Champ créé par une charge ponctuelle positive

On peut voir ci-dessus la carte du champ électrique créé par une telle charge ponctuelle. Notez que les vecteurs sont normalisés de sorte qu'ils indiquent seulement la direction et le sens du champ électrique. On a jouté quelques lignes de champ. On observe que le champ est radial et centrifuge si la charge est positive. Evidemment, si l'on inverse le signe de la charge, les lignes de champ sont radiales et orientées vers la charge.

Champ créé par un doublet

Considérons deux charges ponctuelles de signe opposé, $q$ et $-q$. Ce système forme ce que l'on appelle un doublet électrostatique. Regardons la carte de champ correspondante.

Simulation

Built with Processing

Your browser does not support the canvas element.
Champ créé par un doublet

On peut voir que les lignes de champ partent de la charge positive pour converger vers la charge négative sans jamais se refermer. Par ailleurs, la distribution présente un plan de symétrie (plan miroir, vertical ici). On constate que pour tout point M de ce plan, $\overrightarrow{E}$(M) est dans ce plan. La distribution présente également un plan d'antisymétrie (plan horizontal équidistant des deux charges) qui échange le signe des charges après une opération miroir. On peut noter que pour tout point M de ce plan, $\overrightarrow{E}$(M) est perpendiculaire à ce plan.

Champ créé par deux charges de même signe

Considérons deux charges de même signe et de valeur différente situées sur un axe vertical.

Simulation

Built with Processing

Your browser does not support the canvas element.
Champ créé par un système $q-5q$

On peut faire les mêmes remarques que précédemment. Les lignes de champ partent des charges positives. Là encore, les lignes de champ, ne se referment pas sur elles mêmes. En terme de symétrie, la distribution de charges présente un plan de symétrie vertical et, comme précédemment, pour tout point M de ce plan, $\overrightarrow{E}$(M) est dans ce plan. En revanche, la distribution ne présente pas de plan d'antisymétrie. Enfin, il existe un point ou le champ est nul situé entre les deux charges. Ce point est un point singulier.

Symétries

Les exemples précédents mettent en évidence quelques propriétés de symétrie très générales.

Distribution présentant un plan de symétrie
Distribution présentant un plan de symétrie.

Supposons qu'une distribution présente un plan de symétrie $\mathcal{P}$, c'est-à-dire que la distribution de charge est invariante par rapport à une réfléxion de plan $\mathcal{P}$. On montre alors que le plan se comporte également comme un miroir vis-à-vis du champ électrique. Autrement dit, si l'on note M' l'image de M par une symétrie de plan $\mathcal{P}$, on a \[ \overrightarrow{E}(\text{M'})=\text{sym}(\overrightarrow{E}(\text{M})) \] Intéressons nous aux points situés dans le plan de symétrie. On voit alors qu'à tout point P de la distribution, créant un champ $\overrightarrow{\mathrm{d}E}$(M), correspond un point symétrique P' créant un champ $\overrightarrow{\mathrm{d}E}'$(M) telle que $\overrightarrow{\mathrm{d}E}(\text{M})+\overrightarrow{\mathrm{d}E}'(\text{M})$ se trouve dans le plan $\mathcal{P}$. Ainsi le champ résultant $\overrightarrow{E}$(M) est nécessairement dans le plan $\mathcal{P}$. Une conséquence immédiate est que le champ électrique est nécessairement nul au centre de symétrie d'une distribution.

Supposons maintenant que la distribution change de signe par rapport à un plan $\mathcal{P}'$. On dit alors que $\mathcal{P}'$ est un plan anti-symétrique.

Distribution présentant un plan d'antisymétrie
Distribution présentant un plan d'antisymétrie.

Cette symétrie se retrouve également dans le champ électrique: si l'on note M' l'image de M par une symétrie de plan $\mathcal{P}'$, on a \[ \overrightarrow{E}(\text{M'})=-\text{sym}\overrightarrow{E}(\text{M}) \] Cherchons le champ créé en un point M$\in\mathcal{P}'$. On voit alors qu'à tout point P de la distribution, créant un champ $\overrightarrow{\mathrm{d}E}$(M), correspond un point symétrique P' créant un champ $\overrightarrow{\mathrm{d}E}'$(M) telle que $\overrightarrow{\mathrm{d}E}(\text{M})+\overrightarrow{\mathrm{d}E}'(\text{M})$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}'$. Ainsi le champ résultant $\overrightarrow{E}$(M) est nécessairement perpendiculaire au plan $\mathcal{P}'$.

Propriétés de symétrie du champ électrique

En tout point d'un plan de symétrie, le champ électrique est contenu dans ce plan.

En tout point d'un plan d'anti-symétrie, le champ électrique est perpendiculaire à ce plan.

De manière plus générale, lorsque que certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétries des causes doivent se retrouver dans les effets produits (Principe de Curie). Ici, les causes sont représentées par la distribution de charges et les effets par le champ électrostatique.

Champ électrostatique créé par une distribution continue de charges

Fonction de répartition

On sait que toute distribution de charges est rigoureusement discontinue puisque tout transfert de charge ne se fait que par multiple entier de $e$. Cependant, à l'échelle macroscopique, un corps électrisé par frottement acquiert facilement une quantité de charge de l'ordre de \[ q=Ne\simeq\text{qques nC}\quad\text{soit}\quad N\simeq10^{10}\gg1 \] Le nombre de particules est si grand que l'aspect discontinue passe inaperçu. On peut alors décrire la distribution de charges comme une répartition continue de charges et définir une fonction de répartition.

La densité volumique de charge $\rho_{\mathrm{e}}(\text{M})$ décrit la répartition en volume d'une quantité de charge. En un point M contenu dans un volume infinitésimal $\mathrm{d}V$, la quantité de charge s'écrit \[ \mathrm{d}q=\rho_{\mathrm{e}}(\text{M})\, \mathrm{d}V \] où $\rho_{\mathrm{e}}$(M) s'exprime en $\mathrm{C.m^{-3}}$. Si le milieu est homogène $\rho_{\mathrm{e}}=q_{\mathrm{total}}/V=\mathrm{C^{te}}$.

La densité surfacique de charge $\sigma(\text{M})$ décrit une répartition en surface d'une quantité de charge. En un point M contenu dans un élément d'aire infinitésimal $\mathrm{d}S$, la quantité de charge s'écrit \[ \mathrm{d}q=\sigma(\text{M})\, \mathrm{d}S \] où $\sigma$(M) s'exprime en $\mathrm{C.m^{-2}}$. Si le milieu est homogène $\sigma=q_{\mathrm{total}}/S=\mathrm{C^{te}}$.

Enfin, la densité linéique de charge caractérise la répartition de la charge le long d'un fil chargé. Pour un élément de longueur infinitésimal $\mathrm{d}\ell$ situé en M, la quantité de charge s'écrit \[ \mathrm{d}q=\lambda(\text{M})\, \mathrm{d}\ell \] où $\lambda$(M) s'exprime en $\mathrm{C.m^{-1}}$.

Le passage du discret au continu pour le calcul du champ électrostatique transforme la somme en une intégrale :

Passage discret ➜ continu

\begin{equation} \overrightarrow{E}(\text{M})= \sum_{i=1}^{N}\frac{q_{i}}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{u_{i}}}{{r_{i}}^2} \quad\xrightarrow{N\rightarrow\infty}\quad \int_{\mathcal{D}}\frac{\mathrm{d}q}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{\overrightarrow{u}}{r^2} \label{eq:champ_electrique_distribution_continue} \end{equation}

où $\mathcal{D}$ représente le domaine d'intégration (volume, surface, ligne). Suivant le type de problème, on remplacera $\mathrm{d}q$ par $\rho_{e}\,\mathrm{d}V$ ou $\sigma\,\mathrm{d}S$ ou $\lambda\,\mathrm{d}\ell$. Le calcul de cette intégrale est en général grandement simplifié si la distribution présente des symétries. C'est pourquoi, avant tout calcul direct, il est conseillé de faire une première analyse des propriétés de symétrie.

Remarque

Les densités de charge introduites sont des grandeurs considérées locales à notre échelle, mais sont en réalité le résultat d'une moyenne effectuée à une échelle intermédiaire entre l'échelle atomique (ou la densité de charge varie de façon extrêmement brutale et erratique) et l'échelle macroscopique. Ainsi, l'intégrale \eqref{eq:champ_electrique_distribution_continue} représente un champ local moyenné qui a, certes, le bon goût de varier continument, mais qui n'a plus de sens à l'échelle atomique.

Champ dans le plan médiateur d'un segment chargé

Segment chargé

On considère un segment AB de longueur $L$, contenant une charge $Q$ uniformément répartie le long du segment. On cherche à calculer le champ électrique créé dans un plan médiateur du segment à la distance $r$. Ici la densité de charge est constante : $\lambda=Q/L$. Le plan médiateur est un plan de symétrie et le plan contenant le fil également de sorte que le champ est radial dirigé suivant le vecteur polaire $\overrightarrow{u}_{r}$. Par ailleurs, par symétrie de révolution, le champ ne dépend que de $r$. Nous avons donc \[ \overrightarrow{E}(\text{M})=E_{r}\,\overrightarrow{u_{r}} \] Il suffit donc de calculer la composante radiale du champ : \[ E_{r}=\overrightarrow{E}\cdot \overrightarrow{u_r}= \int\frac{\mathrm{d}q\cos\theta}{4\pi\epsilon_{0}\mathrm{PM}^{2}}= \int_{\mathrm{AB}}\frac{\lambda\cos\theta}{4\pi\epsilon_{0}\mathrm{PM}^2}\,\mathrm{d}z \] Attention à ne pas écrire $E=\int\text{d}E$ car la somme d'une norme n'est pas égale, en général, à la norme de la somme. Les variables PM, $z$ et $\theta$ étant liées, il faut choisir une variable d'intégration. L'angle $\theta$ est un bon choix. À l'aide des relations $\text{PM}=r/\cos\theta$ et $z=r\tan\theta$ (et donc $\mathrm{d}z=r\, \mathrm{d}\theta/\cos^{2}\theta$), on a \[ E_{r}=\int_{-\theta_{0}}^{\theta_{0}}\frac{\lambda\cos\theta}{4\pi\epsilon_{0}r}\text{d}\theta= \frac{\lambda}{4\pi\epsilon_{0}r}2\sin\theta_{0} \quad\text{avec}\quad \sin\theta_{0}=\frac{L}{2\sqrt{r^{2}+\left(L/2\right)^{2}}} \] on peut finalement écrire le champ électrique : \[ \overrightarrow{E}=\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}r}\frac{Q}{\sqrt{r^{2}+\left(L/2)\right)^{2}}}\overrightarrow{u_r} \] Remarquons que pour $r\rightarrow\infty$ on retrouve $E=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}}$ ce qui est cohérent avec le fait qu'à grande distance le segment est assimilable à une charge ponctuelle.

Vous aimez ?

Pour en savoir plus...

  1. C. BlondelDe l'électricité « en + ou en − » de Franklin aux lois de l'électricité.Ampère et l'histoire de l'électricité [en ligne, consulté le 2015-11-19]www.ampere.cnrs.fr/parcourspedagogique/zoom/coulomb/mathematisation/
  2. John David Jackson, Christian Jeanmougin et Jean-Pol VigneronElectrodynamique classique : cours et exercices d’électromagnétisme. Paris, Dunod, 2001.