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MENUCours d'Électromagnétisme

Comment courants et potentiels électriques se répartissent au sein d'un circuit électrique ? C'est à cette question que ce cours entend répondre, sachant qu'on limitera notre propos aux réseaux électriques linéaires. En effet, ces réseaux ont le bon goût de mener à des équations analytiquement solubles.

Lois de l'électrocinétique

Les lois de l'électrocinétique ou lois de Kirchhoff Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887) : physicien allemand qui énonça les lois relatives au courant électrique dans les circuits alors qu'il était encore étudiant. On lui doit surtout des avancées en spectroscopie. se résument en deux lois : la loi des nœuds et la loi des mailles.

Introduction

Un réseau électrique (ou circuit électrique) est un ensemble d'éléments présentant des propriétés électriques, reliés entre eux par des conducteurs que l'on considérera parfaits (conductivité infini). Les lois de l'électricité permettent de trouver la façon dont les courants et les potentiels électriques se répartissent au sein de ce circuit.

Lorsque les grandeurs électriques ne varient pas dans le temps, on parle de régime continu ; le régime variable désigne la situation contraire. En général, les grandeurs électriques stationnaires sont notées en majuscule (tension $U$ et intensité du courant $I$) alors que les grandeurs variables sont en minuscules ($u(t)$ et $i(t)$).

En régime variable, les fluctuations de courant se propagent à une vitesse proche de la vitesse de la lumière. Pour des circuits de taille raisonnable, la durée de propagation $\tau$ est très petite devant le temps caractéristique $T$ des fluctuations (période du signal s'il est périodique). Il est alors légitime de négliger $\tau$ devant $T$ ; c'est ce qu'on appelle l'approximation des régimes quasi-stationnaires.

Approximation des Régimes Quasi Stationnaires (ARQS)

Nous admettrons que les lois des régimes permanents restent valables en régime variable si l'on peut considérer les phénomènes de propagation négligeables. Notamment, dans une branche d'un circuit, à un instant donné, le courant a la même intensité en tout point.

Un dipôle électrocinétique est une partie d'un circuit qui peut être reliée au reste du circuit par deux fils. On décrit le comportement d'un dipôle par sa relation courant-tension ($i=f(u)$) dans une convention précisée. Il en existe deux :

Différentes conventions

Enfin, nous restreindrons notre propos aux réseaux constitués seulement de dipôles électrocinétiques linéaires, c'est-à-dire ceux dont la relation entre $u$ et $i$ est soit affine ($i=a\times u+b$), soit intégro-différentielle.

Loi des nœuds

Dans chaque branche d'un réseau électrique, on définit un sens positif (le choix est arbitraire !) du courant et une intensité algébrique $i$ . Si $i>0$ , le courant circule dans le sens positif ; si $i<0$ , le courant circule dans le sens opposé.

Un nœud est la rencontre d'au moins trois conducteurs électriques. Considérons $n$ branches de conducteurs liées par un nœud N. Définissons $i_{k}$, l'intensité algébrique du courant de la $k$-ème branche. La loi des nœuds traduit la conservation de la charge en régime stationnaire et exprime le fait que la charge ne peut pas s'accumuler en N : le courant électrique qui arrive en N doit être compensé par le courant qui sort. Cette loi, rigoureusement vérifiée en régime continu, est admise en régime variable dans le cadre de l'approximation des régimes quasi-stationnaires.

Loi des nœuds

En chaque nœud d'un circuit, on a \begin{equation} \sum_{k=1}^{n}\epsilon_k\,i_{k}=0 \label{eq:loi_des_noeuds} \end{equation} où $\epsilon_{k}=+1$ quand le courant est entrant et où $\epsilon_{k}=-1$ dans le cas contraire.

Exemple

Exemple loi des noeuds

On considère le schéma ci-contre.

la loi des nœuds \eqref{eq:loi_des_noeuds} exprimée en N donne \[ i_{1}+i_{2}+i_{3}-i_{4}=0\quad\text{soit}\quad i_{4}=i_{1}+i_{2}+i_{3} \] ce qui traduit bien le fait que le courant qui arrive en N est égale au courant qui en sort.

Loi des mailles

Le transport électrique est assuré grâce aux forces électrostatiques. On peut dès lors définir un potentiel électrique en chaque point du circuit. Lorsque le potentiel électrique est le même partout, le réseau est à l'équilibre et n'est le siège d'aucun courant électrique. En revanche, lorsque le potentiel électrique n'est plus uniforme, le conducteur n'est plus à l'équilibre ce qui génère un courant électrique (qui tente de rétablir l'équilibre).

représentation d'une tension

Aux extrémités d'une branche il existe alors une tension qui dépend du courant électrique et de la nature du dipôle traversé par ce courant. Il est traditionnel de représenter une tension $u_{\text{AB}}=V_A-V_B$ par une flèche allant de B vers A.

Les tensions qui règnent dans un circuit obéissent à quelques contraintes physiques. En effet, si l'on parcourt un circuit fermé (on parle de maille) en partant d'un nœud N pour revenir à ce même nœud, on doit trouver une tension nulle en vertu du caractère conservatif du champ électrique ($\oint\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{\mathrm{d}\ell}=0$). Autrement dit, si l'on décompose le circuit $\mathcal{C}$ en $n$ branches adjacentes on aura : \[ \sum_{k=1}^{n}u_{k}=0 \] où $u_{k}$ est la tension qui règne aux extrémités de la $k$-ième branche. Cette loi est à appliquer si toutes les tensions sont orientées dans le même sens, ce qui n'est pas toujours la cas à cause des différentes conventions choisies pour les dipôles, c'est pourquoi on retiendra la règle suivante :

Loi des mailles

Prenons une maille et choisissons arbitrairement un sens de parcours. Visitons toutes les branches de la maille et associons un coefficient $\epsilon_k=+1$ à la tension rencontrée lorsqu'elle est orientée (sa flèche représentative) dans le sens de parcours et un coefficient $\epsilon_k=-1$ lorsque la tension rencontrée est orientée dans l'autre sens. La loi des mailles se traduit alors par \begin{equation} \sum_{k=1}^n \epsilon_{k}\,u_{k}=0 \label{eq:loi_des_mailles} \end{equation}

Exemple

Dans le circuit ci-dessous, appliquons la loi des mailles en parcourant la maille dans le sens indiqué.

exemple loi des mailles
On trouve \[ 1\times u_\text{BC}+1\times u_\text{AB}-1\times u_\text{AC}=0 \] soit \[ u_\text{AC}=u_\text{AB}+u_\text{BC} \] On retrouve d'ailleurs une loi identique à celle de Chasles propre aux vecteurs.

Remarque

masse et terre

Puissance reçue par un dipole électrique

On appelle $\mathcal{P}(t)$ la puissance électrique reçue à l'instant $t$ par un dipôle électrocinétique. La puissance électrique se mesure en watt (symbole : W) en hommage à James Watt James Watt (1736-1819) : ingénieur britannique, dont les améliorations sur la machine à vapeur furent une étape clé dans la révolution industrielle. et on rappelle que \[ 1\;\mathrm{W}\equiv 1\;\mathrm{J.s^{-1}} \] Entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$, la quantité de charge $\mathrm{d}q=i(t)\, \mathrm{d}t$ arrive en une extrémité du dipôle (point A) pendant que la même quantité -- nous sommes en régime stationnaire ou quasi-stationnaire -- en sort par l'autre extrémité (point B). Cette quantité de charge possède une énergie électrique $\mathcal{E}_{\text{p}}(\text{A})=\mathrm{d}qV_{\text{A}}$ en A et $\mathcal{E}_{\text{p}}(\text{B})=\mathrm{d}qV_{\text{B}}$ en B. Remarquons qu'entre A et B l'énergie des charges n'a pas changé du fait que la distribution des charges et du potentiel est la même entre $t$ et $t+\mathrm{d}t$. Autrement dit, d'un point de vue énergétique, tout se passe comme si l'on avait transporté la charge $\mathrm{d}q$ de A en B. Pendant ce transport la charge perd une énergie potentielle $\mathrm{d}qV_{\text{A}}-\mathrm{d}qV_{\text{B}}$ qu'elle cède intégralement au dipôle. Celui-ci reçoit donc une quantité d'énergie \[ \delta W=\mathrm{d}qV_{\text{A}}-\mathrm{d}qV_{\text{B}}=i(t)\,u_{AB}(t)\,\mathrm{d}t \]

La puissance électrocinétique reçue (l'énergie reçue par unité de temps) par un dipole D à l'instant $t$, soumis à une tension $u(t)$ et traversé par un courant d'intensité $i(t)$ vaut, en convention récepteur, \begin{equation} \mathcal{P}(t)=u(t)\,i(t) \label{eq:loi_puissance_electrocinetique} \end{equation}

Si $\mathcal{P}(t)>0$, le dipôle absorbe effectivement, à l'instant $t$, de l'énergie électrique. On dit que le dipôle a un caractère récepteur. Cette énergie reçue par le dipôle est soit stockée, soit convertie sous une autre forme (effet Joule dans une résistance, énergie mécanique dans un moteur).

Si $\mathcal{P}(t)<0$, le dipôle fournit effectivement de l'énergie électrique ; on dit que le dipôle à un caractère générateur (batterie en fonctionnement par exemple).

Ordres de grandeur
électroniquelampe de poche consommation des français en hivercentrale électriquemoteur TGV
μW-mWW100 GWGWMW

Phénomènes résistifs

Loi d'ohm - effet Joule

Comme on l'a vu précédemment ( Conducteurs électriques), un conducteur ohmique obéit à la loi d'Ohm \[ u(t)=R\,i(t)\quad \text{[Convention récepteur]} \] où $R$ désigne la résistance du conducteur ohmique dont la valeur dépend de la géométrie et de la conductivité du matériau conducteur. Rappelons que $R$ s'exprime en ohm (symbole $\Omega$).

Schéma et caractéristique d'un conducteur ohmique.

La caractéristique $i=f(u)$ est donc une droite passant par l'origine. Un circuit uniquement composé de résistances ne peut pas produire de courant. On dit que le conducteur ohmique est un dipôle linéaire passif.

Réseau constitué de deux résistances

Par exemple, si l'on branche deux résistances ensemble, la loi des mailles donne \[ u_1+u_2=0 \quad\text{soit}\quad R_1\,i+R_2\,i=0 \quad\Longrightarrow\quad i=0 \] Aucun courant ne circule et par conséquent tous les conducteurs sont au même potentiel. On retrouve une des propriétés des conducteurs à l'équilibre.

La puissance reçue par un conducteur ohmique vaut

\begin{equation} \mathcal{P}=u\,i=R\,i^{2}>0 \label{eq:puissance_effet_joule} \end{equation}

Le conducteur ne peut que recevoir de l'énergie électrique, sans pouvoir en fournir. On parle alors de récepteur électrique. En revanche, cette énergie électrique est convertie essentiellement sous forme de chaleur si le conducteur n'est pas thermiquement isolé. En effet, si le conducteur est maintenu à température et pression constantes, le premier principe de la thermodynamique donne, pendant la durée $\tau$ : \[ \Delta H=Q_{P}+W_{\text{elec}}=Q_{\text{P}}+\int Ri^{2}\, \mathrm{d}t=0 \quad\Longrightarrow\quad Q_{p}=-\int Ri^{2}\, \mathrm{d}t \] Cette dissipation de l'énergie électrique sous forme de chaleur porte le nom d'effet Joule. Cet effet est mis à profit dans les bouilloires électriques par exemple.

Remarque

Notez qu'en général le conducteur voit sa température varier, ce qui fait augmenter son enthalpie ($\Delta H=\int mc_{p}\, \mathrm{d}T$). Dans ce cas, une partie de l'énergie électrique sert à augmenter l'énergie interne du conducteur et à le dilater.

Association de résistances

Tout dipôle constitué uniquement de résistances équivaut à une résistance équivalente $R_\text{eq}$. Intéressons-nous à deux configurations simples.

Résistances en série

Conducteurs ohmiques en série.

On dit que des résistances sont en série lorsqu'elles sont traversées par le même courant électrique. Appelons $i$ l'intensité du courant. On a \[ u=R_{\text{eq}}\,i=\sum_{k=1}^N u_k=i\sum_{k=1}^N R_k \] Par conséquent, on obtient

\begin{equation} R_{eq}=\sum_{k}R_{k} \label{eq:resistance_en_serie} \end{equation}

Résistances en parallèle

Conducteurs ohmiques en parallèle.

On dit que des résistances sont associées en parallèle lorsqu'elles sont soumises à la même tension. Appelons $u$ la tension commune. On a \[ i=\frac{u}{R_\text{eq}}=\sum_{k=1}^N i_k=u\sum_{k=1}^N \frac{1}{R_k} \] On trouve donc

\begin{equation} \frac{1}{R_\text{eq}}=\sum_{k}\frac{1}{R_{k}} \label{eq:resistance_en_parallele} \end{equation}

On pourra retenir par exemple que :

Ponts diviseurs

Pont diviseur de tension

Considérons deux résistances $R_{1}$ et $R_{2}$ en série soumises à une tension globale $u$. En vertu de la loi des mailles, on a $u=u_1+u_2=(R_1+R_2)i$. La tension aux bornes de chaque résistance $u_k=R_k i$ est alors une fraction de la tension $u$

\begin{equation} u_{k}=\dfrac{R_{k}}{R_{1}+R_{2}}u\qquad k=1\text{ ou }2 \label{eq:pont_diviseur_tension} \end{equation}

On parle alors de montage diviseur de tension.

Pont diviseur de courant

On considère maintenant deux résistances $R_{1}$ et $R_{2}$ en parallèle alimentées par un courant global $i$. Définissons les conductances $G_k=1/R_k$, exprimées en siemens (symbole : S). Le courant traversant chacune des résistances a pour intensité $i_k=G_k u$ et $u=(G_1+G_2)i$. En conséquence, on obtient

\begin{equation} i_{k}=\frac{G_{k}}{G_{1}+G_{2}}i\qquad k=1\text{ ou }2 \label{eq:pont_diviseur_courant} \end{equation}

Le courant se répartie au prorata des conductances et l'on parle de montage diviseur de courant.

Exercice

On considère le montage ci-dessous. Calculer l'intensité du courant $\boldsymbol{i}$.

exercice sur les ponts diviseurs

Les deux résistances en parallèle sont équivalentes à une résistance de valeur $R/2$. La tension qui règne aux bornes de ces deux résistances est donnée par la formule du diviseur de tension : \[ u'=\frac{R/2}{R/2+R}u=\frac13 u \] On en déduit le courant $i$ à partir de la loi d'ohm : $u'=Ri$ soit $i=u/(3R)$.

Modélisation linéaire d'un dipôle actif

Contrairement aux dipôles passifs, les dipôles actifs produisent une tension en circuit ouvert. On distingue les sources (piles, alimentation stabilisée, batteries en utilisation,...) et les récepteurs (électrolyseurs, batteries en charge, moteurs électriques).

Source de tension

Une source de tension permet aux charges de remonter le potentiel grâce à l'existence d'un champ électromoteur au sein de la source. Ce champ électromoteur produit une tension, dite force électromotrice (f.é.m) que nous noterons $e$.

La caractéristique d'une source de tension idéale s'écrit en convention générateur : \[ u=e\qquad\forall i \] où $e$ est la force électromotrice (f.é.m) de la source de tension.

Source idéale de tension : schéma et caractéristique

Pour tenir compte des pertes par effet Joule d'une source de tension, on modélise la source par une source idéale en série avec une résistance $r$ dite résistance interne. La caractéristique s'écrit alors :

\begin{equation} u=e-ri \label{eq:caracteristique_source_tension_reelle} \end{equation}

Source réelle de tension : schéma et modélisation linéaire.

Il ressort de cette caractéristique que la source de tension acquiert un comportement quasi-idéal à la condition que $ri \ll e$ : le courant débité par la source doit rester faible. C'est ce que l'on obtient lorsque que l'on branche un voltmètre aux bornes de la source : la résistance interne du voltmètre étant très grande, le courant débitée est quasi-nul de sorte que le voltmètre indique la f.é.m de la source. Par ailleurs, lorsque l'on court-circuite la source en reliant ses deux bornes ($u=0$), on trouve un courant de court-circuit \[ i_\text{cc}=e/r \]

Puissance fournie en foncton du courant

Du point de vue énergétique, la puissance délivrée par la source de tension vaut $\mathcal{P}=u\,i=ei-ri^{2}$. Ainsi, la puissance atteint une valeur maximale lorsque $i=e/2r$. Une source réelle de tension délivre donc une puissance maximale \[ \mathcal{P}_\text{max}=\frac{e^2}{4r} \]

Source de courant

Le rôle d'une source de courant est d'imposer un courant constant indépendamment de la tension qui règne à ses bornes.

Source de courant idéale : schéma et caractéristique.

Une source de courant idéale aura la caractéristique suivante : \[ i=i_{0}\qquad\forall u \] où $i_{0}$ désigne le courant électromoteur (c.é.m).

Pour tenir compte des pertes par effet Joule d'une source de courant réelle, on la modélise par une source idéale en parallèle avec une conductance interne $g$.

Source réelle de courant : schéma et caractéristique.

La caractéristique s'écrit alors : \[ i=i_{0}-g\,u \quad\text{avec}\quad g=\frac{1}{r} \] où $g$ est la conductance interne ($r$ la résistance interne). On notera qu'une source de courant se rapproche d'une source de courant idéale quand sa conductance interne $g\rightarrow 0$ ($r\to \infty$).

puissance d'une source de courant

La puissance fournie par une source de courant réelle vaut $\mathcal{P}=ui=ui_0-gu^{2}$. Suivant le dipôle que charge la source de courant, la tension et donc la puissance délivrée varie. La courbe ci-contre montre que lorsque $u=i_0/2g$ la puissance atteint une valeur maximale \[ \mathcal{P}_\text{max}=\frac{{i_0}^2}{4g} \]

Équivalence Thévenin-Norton

Considérons une source de tension réelle dont la modélisation linéaire est donnée par $u=e-ri$. Cette caractéristique peut se ré-écrire $i=e/r-gu$ avec $g=1/r$. En d'autres termes, une source de tension réelle peut s'interpréter comme une source de courant de c.é.m $i_{0}=e/r$ et de conductance $g=1/r$. Ainsi, toute source linéaire présente deux représentations possibles :

On passe d'une représentation à une autre en retenant l'équivalence Thévenin-Norton suivante :

Thevenin-norton

Récepteur actif

Étudions le cas d'une batterie chimique. On distingue deux comportements : la décharge ou la charge. Lorsque la batterie se décharge, elle est alors source d'énergie et est modélisée par une source de tension de f.é.m $e$ et de résistance interne $r$. On a en convention générateur \[ u=e-ri \quad\text{et}\quad \mathcal{P}=ei-ri^2>0 \] En fonctionnement générateur, la puissance fournie est positive et le sens du courant est dictée par la polarité de la source. En revanche, lorsque la batterie est en charge, le courant est dans l'autre sens. Dans ce cas, le dipôle reçoit de la puissance : on dit qu'il s'agit d'un récepteur actif et $e$ est désigné par le terme force contre-électromotrice (f.c.é.m).

Batterie en charge.

En convention récepteur, on écrira donc \[ u=e+ri \] et la puissance fournie à la batterie vaut \[ \mathcal{P}=ei+ri^2 \] Une partie de cette puissance ($ri^2$) est dissipée par effet joule et l'autre partie ($e\,i$) est convertie en énergie chimique. On peut d'ailleurs définir un rendement de conversion \[ \eta=\frac{\mathcal{P}_\text{convertie}}{\mathcal{P}_\text{fournie}}=\frac{e}{e+ri} \] Finalement, une batterie est une source de tension qui peut fonctionner, soit en générateur, soit en récepteur, la polarité étant fixé par la borne + de la batterie. On parle alors de récepteur réversible. Les accumulateurs, les électrolyseurs ont ce comportement.

Il existe cependant des dipôles actifs dont le comportement est toujours récepteur quel que soit le sens du courant. La polarité de la f.c.é.m est toujours orientée à contre sens du courant. On parle de récepteur non réversibles (ou non polarisés). Le moteur à courant continu en est un exemple.

récepteur actif

Loi de Pouillet

Imaginons une maille constituée de dipôles actifs (en représentation de Thévenin) et de résistances. Appelons $R$ la somme de toutes les résistances (résistances internes inclues). Imposons un sens positif du courant et notons $i$ l'intensité algébrique du courant qui circule dans la maille. Notons $e_k$ les f.é.m (orientées dans le sens positif) et $e'_k$ les f.c.é.m (orientés dans le sens contraire). La loi des mailles permet d'écrire \[ \sum_k e_k-\sum e'_k-Ri=0 \] Ce qui donne la loi connue sous le nom de loi de Pouillet :

\begin{equation} i=\dfrac{\sum_{k}e_{k}-\sum_{k'}e'_{k}}{R} \label{eq:loi_de_pouillet} \end{equation}

Exercice

exo pouillet

Une source de tension continue, de f.é.m $\boldsymbol{e}=$ 15 V, charge une batterie de f.c.é.m $\boldsymbol{e'}=$ 12 V. Déterminer le courant de charge $i$ à l'aide de la loi de Pouillet.

La loi de Pouillet donne \[ i=\frac{e-e'}{R} \quad\text{soit}\quad i=\frac{15-12}{50+5+5}=50\,\mathrm{mA} \]

Méthodes de résolution

Dans un réseau constitué de $b$ branches et $n$ nœuds, il y a $N=b-n+1$ courants indépendants. En effet, les $b$ courants circulant dans les $b$ branches vérifient $n-1$ relations (lois des nœuds). Il nous faut donc $N$ relations pour déterminer ces inconnues. Ces relations sont obtenues en appliquant la loi des mailles dans $N$ mailles indépendantes associées aux caractéristiques des dipôles. On obtient alors un système d'équations à résoudre.

Méthodologie

Cette méthode présente l'avantage de déterminer toutes les grandeurs électriques et s'applique à tous les réseaux électriques. Son inconvénient majeur étant qu'elle nécessite de résoudre un système de $N$ équations même si l'on ne cherche qu'une seule grandeur électrique. Le risque d'erreur de calcul peut devenir important.

Exemple

À l'aide des lois de Kirchhoff, déterminons l'intensité du courant $i$ dans le circuit ci-dessous.

exemple

Commençons par définir tous les courants. Appelons $i_1$ le courant qui traverse le dipôle (20 V, 5 Ω). En parcourant tout le réseau, on s'aperçoit qu'il n'y a que deux courants inconnues : $i$ et $i_1$ (notez qu'il y a une source de courant qui impose la valeur de l'intensité du courant dans une branche).

solution

Il suffit donc de deux relations pour les déterminer. On choisira les mailles représentées en couleur sur la figure. La loi des mailles donne alors \[ \left\{\begin{array}{ccccccc} 20&-&5i_1&-&5i&=&0\\ 5&-&5(i-i_1-1)&-&5i&=&0 \end{array}\right. \quad\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{ccccc} 5i_1&+&5i&=&20\\ -5i_1&+&10i&=&10 \end{array}\right. \] En sommant les deux relations, on trouve $15i=30$, soit $i=2$ A.

Pour remédier à ce défaut, on peut utiliser de façon judicieuse l'équivalence électrique entre une source de tension réelle et une source de courant réelle ainsi que l'association des résistances. Cela permet de simplifier une partie d'un réseau électrique, et de diminuer le nombre de mailles, quand le but est de calculer le courant dans une branche particulière.

Exemple

Reprenons l'exemple précédent en utilisant l'équivalence Thévenin-Norton.

exemple thevenin noton

Après plusieurs simplifications, on aboutit à un simple diviseur de courant. La formule du diviseur donne alors \[ i=\frac{1/5}{2/5+1/5}\times6=2\,\mathrm{A} \]

Phénomènes capacitifs

Rappels

On a vu dans le chapitre consacré aux conducteurs qu'un condensateur soumis à une tension électrique constante $U$ accumule au niveau de ses armatures des charges électriques de signe opposé ($Q$ et $-Q$) telles que $Q=CU$. On admettra que dans le cadre de l'ARQS un condensateur idéal répond à cette loi. On a donc en convention récepteur :

\begin{equation} q(t)=C\,u(t) \quad\Longrightarrow\quad i(t)=C\frac{\text{d}u(t)}{\text{d}t}\quad\text{[Convention récepteur]} \label{eq:caracteristique_condensateur_ideal} \end{equation}

où $C$ se mesure en farad (symbole : F). La relation étant linéaire, le condensateur est un dipôle linéaire.

Un condensateur réel s'écarte un peu de l'idéalité pour deux raisons essentielles.

  1. La tension est en général limitée. En effet, il existe un champ électrique qu'il ne faut pas dépasser au risque de détruire le diélectrique placée entre les armatures du condensateur (existence d'un champ disruptif).
  2. Il existe un courant de fuite à travers le diélectrique du fait de la conductivité finie de ce dernier. Par exemple, lorsqu'un condensateur chargé est abandonné en circuit ouvert, on constate que sa charge diminue au cours du temps. Pour modéliser cette fuite, on introduit la notion de résistance de fuite $R_\text{f}$. Son ordre de grandeur varie entre le M$\Omega$ et la centaine de M$\Omega$.
Condensateurs idéal et réel.

Énergie emmagasinée dans un condensateur

On rappelle qu'un condensateur idéal stocke une énergie électrique \[ W_E=\frac{1}{2}q\,u=\frac{1}{2}C\,u^{2} \] Le condensateur chargé agit comme un réservoir d'énergie qu'il peut fournir au reste du circuit. La puissance que reçoit un condensateur idéal s'écrit \[ \mathcal{P}=u\,i=C\,u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}W_E}{\mathrm{d}t} \] Lorsque l'énergie stockée décroit, $\mathcal{P}<0$ : le condensateur se décharge en fournissant de l'énergie au reste du circuit, agissant ainsi comme un générateur.

Association de condensateurs

Association en parallèle

Deux condensateurs associés en parallèle.

Soient deux condensateurs de capacité $C_1$ et $C_2$ montés en parallèle. On suppose que ces condensateurs sont suffisamment éloignés pour pouvoir négliger toute influence mutuelle (ce qui est fréquemment réalisé). Exprimons l'énergie emmagasinée : \[ W_E=\frac12 C_1 u^2+\frac12 C_2 u^2=\frac12 (C_1 + C_2) u^2 \] Par conséquent, l'ensemble est équivalent à un condensateur de capacité $C_\text{eq}=C_1+C_2$ soumis à la tension commune $u$. Cette propriété se généralise aisément : $N$ condensateurs montés en parallèle et sans influence mutuelle équivalent à un condensateur de capacité :

\begin{equation} C_\text{eq}=\sum_{i=1}^N C_i \label{eq:condensateurs_en_parallele} \end{equation}

Association en série

Condensateurs montés en série

Considérons deux condensateurs de capacité $C_1$ et $C_2$ montés en série. Appelons $i$ l'intensité du courant qui les traverse. La conservation de la charge implique que \[ i=\frac{\mathrm{d}q_1}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}q_2}{\mathrm{d}t} \quad\Longrightarrow\quad q_2-q_1=\mathrm{C^{te}} \] la quantité de charge $q_2-q_1$ représente la charge répartie sur la liaison conductrice entre les deux condensateurs. Supposons la liaison initialement neutre : $q_1=q_2=q$. Dans ce cas, l'ensemble est équivalent à un condensateur portant une charge $q$ et une capacité $C_\text{eq}$. En effet, l'énergie de l'association s'écrit \[ W_E=\frac12\frac{q^2}{C_1}+\frac12\frac{q^2}{C_2}=\frac12\frac{q^2}{C_\text{eq}} \quad\text{avec}\quad \frac{1}{C_\text{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \] On peut étendre cette démonstration à un nombre quelconque de condensateurs. Ainsi, $N$ condensateurs associés en série, sans influence mutuelle et tels que les liaisons inter-armatures soient neutres, se comportent comme un condensateur de capacité

\begin{equation} \frac{1}{C_\text{eq}}=\sum_{i=1}^N\frac{1}{C_i} \label{eq:condensateurs_en_serie} \end{equation}

Décharge d'un condensateur

Montage RC

Considérons un circuit constitué d'une source réelle de f.é.m $e_0$, d'un condensateur de capacité $C$, d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'un inverseur K. On commence par charger le condensateur en basculant K de manière à mettre en contact la source de tension et le condensateur. Le condensateur se trouve alors chargé et stocke ainsi la quantité de charge \[ q_0=Ce_0 \] À $t=0$, on bascule K. Le condensateur se décharge alors dans la résistance : c'est le régime libre du dipôle RC. Cherchons l'évolution de la tension capacitive $u_c(t)$ ainsi que le courant de décharge $i(t)$.

La loi des mailles donne \[ u_{c}(t)-Ri(t) =0 \quad\text{avec}\quad i(t)=-\frac{\text{d}q}{\text{d}t}=-C\frac{\text{d}u_{c}}{\text{d}t} \] La tension $u_c$ vérifie donc l'équation différentielle du premier ordre suivante : \[ \frac{\text{d}u_{c}}{\text{d}t}+\frac{u_{c}}{\tau}=0 \quad\text{avec}\quad \tau=RC \] On voit immédiatement, par l'analyse dimensionnelle de l'équation différentielle, que $\tau$ représente une durée. Les solutions sont de la forme $u_c(t)=A \mathrm{e}^{-t/\tau}$. On détermine $A$ grâce à la condition initiale $u_c(0)=e_0$, ce qui donne $A=e_0$. Finalement, la tension $u_c$ évolue au cours du temps suivant la loi \[ u_{c}(t)=e_0\,\mathrm{e}^{-t/\tau} \quad\text{et}\quad i(t)=-C\frac{\text{d}u_{c}}{\text{d}t} =\frac{e_0}{R}\mathrm{e}^{-t/\tau} \] La tension capacitive décroît exponentiellement jusqu'à s'annuler au bout d'un certain temps. Le temps caractéristique de cette décharge peut s'obtenir en prenant l'intersection de la tangente à l'origine avec la valeur finale $u_c=0$. Il est facile de montrer que cette intersection a lieu lorsque $t=\tau$. La durée $\tau=RC$ donne ainsi un ordre de grandeur de la durée de la décharge. On retiendra qu'au bout de $\boldsymbol{5\tau}$ la décharge peut être considérée terminée. On voit donc qu'une grande résistance ralentit le temps de décharge du condensateur.

Le courant de décharge, quant à lui, n'est pas constant lors de ce processus. Il est maximum à $t=0^{+}$ et vaut $e_0/R$. Notez que le courant n'est pas une fonction continue puisqu'il subit une discontinuité entre $t=0^-$ et $t=0^+$. En effet, lorsque l'on bascule l'interrupteur K sur la branche contenant la résistance, on met brutalement la résistance sous tension ($e_0$) ce qui impose un courant initial $e_0/R$.

Évolution de la tension capacitive et du courant de décharge.

Bilan d'énergie.

D'un point de vue énergétique, l'énergie stockée sous forme électrique $W_E=\frac{1}{2}Cu_{c}^{2}$ décroît avec un temps de relaxation $\tau_{E}=2\tau$. L'énergie initialement emmagasinée par le condensateur est complètement dissipée par effet Joule. En effet, on pourra vérifier que \[ \int_{0}^{\infty}Ri^{2}(t)\,\mathrm{d}t=\frac{1}{2}C{e_0}^{2} \]

Remarque

L'énergie dissipée ne dépend pas de la résistance. C'est la durée de la dissipation qui en dépend.

Phénomène d'auto-induction

Introduction à l'induction magnétique

Le phénomène d'induction électromagnétique, découvert par Faraday en 1831, a une grande portée industrielle puisqu'il permet de convertir une énergie mécanique en une énergie électrique et vice-versa. Décrivons le principe à l'aide de l'expérience suivante.

Expérience

Mettons en mouvement un aimant au voisinage d'un cadre conducteur reliée à un galvanomètre (détecteur de courant).

Phénomène d'induction

On observe l'existence d'un courant induit par le mouvement de l'aimant. Plus précisément, on constate que l'intensité du courant dépend de la façon dont on déplace l'aimant.

Répétons la même expérience en remplaçant l'ampèremètre par un voltmètre. Dans ce cas, on note que le mouvement de l'aimant induit également une tension d'autant plus importante que le mouvement de l'aimant est rapide. La polarité de la tension induite dépend du sens de l'orientation de l'aimant.

La première expérience montre que la spire se comporte comme un aimant dont l'action sur l'aimant consiste à le freiner dans son mouvement.

Loi de Lenz

Dans un circuit fermé, la variation de flux magnétique produit un courant induit dont les effets s'opposent aux causes qui lui ont donné naissance.

Dans la deuxième expérience, le circuit ouvert n'est plus le siège d'un courant mais voit apparaître à ses bornes, une tension électrique. Le circuit se comporte alors comme une source de tension de f.é.m $e$, dite force électromotrice induite. Quantitativement, on montre que

\begin{equation} e=-\frac{\text{d}\phi_B}{\text{d}t} \label{eq:loi_dE_faraday} \end{equation}

Cette loi, dite loi de Faraday, fait intervenir le flux magnétique $\phi_B$ à travers le circuit. Rappelons que \[ \phi_B=\iint_{S}\overrightarrow{B}.\overrightarrow{n}\text{d}S\qquad[\text{Wb}] \] Sa valeur, exprimée en weber (Wb), dépend de la forme du circuit et du champ magnétique mais en aucune manière il ne dépend du choix de la surface $S$ s'appuyant sur le circuit. Comme d'habitude, $\overrightarrow{n}$ est le vecteur unitaire localement normal à la surface $S$ et dont le sens est lié au sens positif du circuit via la règle du tire-bouchon.

Auto-induction

On parle d'auto-induction quand la source de champ magnétique à l'origine du phénomène d'induction dans un circuit est produit par le circuit même.

Considérons une bobine, c'est-à-dire un enroulement de fil électrique. Lorsque cette bobine est traversée par un courant électrique, celui-ci produit un champ magnétique ainsi qu'un flux magnétique $\phi_B$, dit flux propre, à travers la bobine. Étant donné que le champ magnétique créé est proportionnel à l'intensité $i$ du courant (d'après la loi de Biot et Savart), on peut écrire \[ \phi_B=Li \] où $L$ désigne le coefficient d'auto-inductance On dit aussi inductance propre. La grandeur $L$ s'exprime en henry (symbole : H) en hommage à Joseph Henry Joseph Henry (1797 - 1878) : physicien américain. En 1830, Henry découvre qu'un courant peut être induit dans un conducteur par déplacement d'un champ magnétique ; principe de l'électromagnétisme qu'il ne publiera pas. Dès 1831, il démontre la possibilité de transmettre des messages à distance en utilisant simplement une source de courant, un interrupteur et un électro-aimant. Henry présenta au public un appareil expérimental à Albany, dans l'état de New York et établit une liaison de plus de 150 mètres, démontrant ainsi la faisabilité du procédé. Mais il ne breveta pas son invention, pas plus qu'il ne lui trouva d'application pratique. Henry sera doublé par M. Faraday qui découvrira seul le phénomène d'induction magnétique (août 1831) et par S. Morse qui appliquera cette découverte à la transmission d'information (1832). On lui attribue malgré tout, la découverte de l'auto-induction (juillet 1832), phénomène fondamental en électromagnétisme.. Lorsque le courant varie au cours du temps, la bobine se comporte comme une source de f.é.m $e=-L\frac{\text{d}i}{\text{d}t}$ en convention générateur. Ainsi, la caractéristique d'une bobine idéale s'écrit, en convention récepteur :

\begin{equation} u_L=L\frac{di}{dt}\quad\text{[convention récepteur]} \label{eq:caracteristique_bobine} \end{equation}

En régime continu, le courant étant permanent, $u_L=0$. Autrement-dit, la bobine peut être remplacée par un fil conducteur parfait.

Modélisations d'une bobine.

Dans la pratique, le fil formant la bobine est résistive. C'est pourquoi, on modélise une bobine réelle en ajoutant en série une résistance (quelques ohms). À moyenne et haute fréquence, une modélisation plus fidèle exige la présence d'un condensateur en parallèle.

Énergie emmagasinée dans une bobine

La puissance électrique que reçoit une bobine parcourue par un courant électrique s'écrit \[ \mathcal{P}=ui=iL\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac12 Li^2) \] Par définition, l'énergie stockée par une bobine idéale $W_B$ est l'énergie qu'elle est susceptible de libérer lorsque l'on coupe son alimentation ($i=0$). \[ W_B=-\int \mathcal{P}\, \mathrm{d}t=-\int_{i'=i}^{0}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\frac12 L{i'}^2)\, \mathrm{d}t=\frac12 Li^2 \] Cette énergie ne dépend pas de la façon dont on coupe l'alimentation. Ainsi, on dira qu'une bobine idéale alimentée par un courant électrique emmagasine une énergie sous forme magnétique qui vaut

\begin{equation} W_B=\frac12 Li^2 \label{eq:energie_bobine} \end{equation}

Circuit R-L

Montage R-L

Considérons un circuit constitué d'une source réelle de tension de f.é.m $e_0$ en série avec une résistance $r_0$ (si la source présente une résistance interne alors celle-ci est incluse dans $r_0$) qui, dans un premier temps alimente une bobine idéale. Au bout d'un certain temps, un courant permanent s'établit. Dès lors, la bobine se comportant comme un fil, on voit immédiatement que le courant s'établit à la valeur $i_0=e_0/r_0$. À l'instant $t=0$, on bascule un interrupteur K de sorte que la bobine se trouve en contact avec une résistance de charge $R$ (si la bobine présente une résistance interne $r$, il suffit de remplacer dans les calculs qui suivent $R$ par $R+r$.). On oriente le courant dans le sens qui correspond au sens réel du courant $i_0$. Cherchons l'évolution du courant et de la tension inductive $u_{L}(t)$ à partir de $t=0$.

La loi des mailles donne \[ u_{L}(t)+Ri(t) =0 \quad\text{avec}\quad u_{L}(t)=L\frac{\text{d}i}{\text{d}t} \] ce qui donne, en posant $\tau=L/R$, \[ \frac{\text{d}i}{\text{d}t}+\frac{i}{\tau}=0\qquad\text{pour } t>0 \] Les solutions de cette équation différentielle du premier ordre sont de la forme $i=A\mathrm{e}^{-t/\tau}$. Pour déterminer la constante d'intégration $A$ il faut connaître la valeur de $i$ lorsque $t\to 0^+$. Or, la bobine impose la continuité du courant. En effet, étant donné qu'il est impossible de fournir une puissance électrique infinie, l'énergie stockée par une bobine ne peut présenter de discontinuité. En conséquence $1/2Li^2$ varie continûment. On a donc $i(t=0^+)=i(t=0^-)=e_0/r_0$. Finalement on obtient \[ i(t)=\frac{e_0}{r_0}\mathrm{e}^{-t/\tau} \quad\text{et}\quad u_{L}(t)=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=-\frac{Re_0}{r_0}\mathrm{e}^{-t/\tau} \] La tension inductive est négative et croît jusqu'à s'annuler au bout d'une durée d'environ $5L/R$. Le courant décroît également jusqu'à s'annuler avec le même temps de relaxation. La mesure du temps de relaxation du dipôle RL peut permettre de mesurer la résistance interne d'une bobine réelle par exemple.

Évolution de la tension inductive et du courant.

D'un point de vue énergétique, l'énergie magnétique $W_{M}=\frac{1}{2}Li^{2}$ décroît avec un temps de relaxation $\tau_{E}=2\tau$. Là aussi, l'énergie stockée est complètement dissipée par effet Joule. En effet, on pourra vérifier que \[ \int_{0}^{\infty}Ri^{2}(t)\,\text{d}t=\frac{1}{2}Li_{0}^{2} \]

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